Теорема Пифагора. Теорема косинусов

Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия теорема ПифагораТеорема Пифагорав
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия теорема косинусовТеорема косинусов
Типы треугольников признаки равенства треугольников признаки равенства прямоугольных треугольников

Теорема Пифагора

      Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.

      Доказательство. Докажем, что длины сторон произвольного прямоугольного треугольника ABC (рис.1)

Теорема Пифагора доказательство

Рис.1

удовлетворяют равенству

c2 = a2 + b2

      С этой целью рассмотрим квадратквадрат со стороной, равной c, изображённый на рисунке 2.

Теорема Пифагора доказательство

Рис.2

      Площадь этого квадрата равна сумме площадей четырёх одинаковых прямоугольных треугольников, равных треугольнику ABC (рис.3, рис.4), и площади квадрата со стороной, равной a b (рис.5).

Теорема Пифагора доказательство
Рис.3
Теорема Пифагора доказательство
Рис.4
Теорема Пифагора доказательство
Рис.5

      Поэтому справедливо равенство

Теорема Пифагора доказательство
Теорема Пифагора доказательство

что и требовалось доказать.

Теорема косинусов

      Теорема косинусов. Квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов длин других сторон минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус угла между ними.

      Доказательство. Рассмотрим сначала треугольник ABC, у которого углы A и С – острые (рис.6).

Теорема косинусов доказательство

Рис.6

      Докажем, что длины сторон этого треугольника удовлетворяют равенству

a2 = b 2 + c 2
2bc cos A
(1)

      С этой целью проведём высоту BD из вершины B (рис.7).

Теорема косинусов доказательство

Рис.7

      В соответствии с определениями синуса и косинуса угла прямоугольного треугольника справедливы равенства

BD = c sin A,   AD = c cos A,   DC = b – AD = b – c cos A.

      Из теоремы Пифагора, применённой к прямоугольному треугольнику BDC, получим

a 2 = BD 2 + DC 2 =
=
c
2 sin2 A + (b – c cos A)2 =
= c 2 sin2 A + b2
2 bc cos A + c 2 cos2 A =
=
b2 + c 2 – 2 bc cos A.

      Таким образом, в случае треугольника ABC с острыми углами A и С теорема косинусов доказана.

      Замечание 1. Для того, чтобы получить полное доказательство теоремы косинусов, необходимо рассмотреть также и следующие случаи:

  1. Угол A – острый, угол C – тупой (рис.8)

    Теорема косинусов доказательство

    Рис.8

  2. Угол A – прямой (рис. 9).

    Теорема косинусов доказательство

    Рис.6

  3. Угол A – тупой (рис.10).

    Теорема косинусов доказательство

    Рис.10

      Во всех перечисленных случаях доказательства теоремы косинусов проводятся совершенно аналогично тому, как это было сделано для случая острых углов A  и C, и мы рекомендуем читателю провести эти доказательства в качестве полезного и несложного упражнения.

      Замечание 2. В случае, когда угол A является прямым углом, формула (1) принимает вид

a2 = b2 + c2,

откуда вытекает, что теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов.

      Замечание 3. Если у треугольника известны длины всех сторон, то с помощью теоремы косинусов можно найти косинус любого угла треугольника, например,

Теорема косинусов доказательство

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика