Справочник по математике
Геометрия (Планиметрия) Четырехугольники
Площади четырехугольников
Содержание
 |
Формулы для площадей четырехугольников |
|
Вывод формул для площадей четырехугольников |
|
Вывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника |
В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:
S = ab,
которая позволяет найти площадь прямоугольника с основанием a и высотой b.
Формулы для площадей четырехугольников
| Прямоугольник |
|
Формула для площади прямоугольника через его стороны
a и b – смежные стороны прямоугольника |
|
Формула для площади прямоугольника через его диагонали и угол между ними
d – диагональ, φ – любой из четырёх углов между диагоналями |
|
Формула для площади прямоугольника через радиус описанной окружности и угол между диагоналями прямоугольника
R – радиус описанной окружности, φ – любой из четырёх углов между диагоналями прямоугольника Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R |
| Параллелограмм |
|
Формула для площади параллелограмма через его сторону и высоту, опущенную на эту сторону
a – сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону |
|
Формула для площади параллелограмма через стороны параллелограмма и угол между ними
a и b – смежные стороны, φ – угол между ними |
|
Формула для площади параллелограмма через его диагонали и угол между ними
d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними |
| Квадрат |
|
Формула для площади квадрата через его сторону
a – сторона квадрата |
|
Формула для площади квадрата через радиус вписанной окружности
r – радиус вписанной окружности |
|
Формула для площади квадрата через его диагональ
d – диагональ квадрата |
|
Формула для площади квадрата через радиус описанной окружности
R – радиус описанной окружности Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R |
| Ромб |
|
Формула для площади ромба через сторону и высоту, опущенную на эту сторону
a – сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону |
|
Формула для площади ромба через сторону и угол ромба
a – сторона, φ – любой из четырёх углов ромба |
|
Формула для площади ромба через его диагонали
d1, d2 – диагонали |
|
Формула для площади ромба через его сторону и радиус вписанной окружности
a – сторона, r – радиус вписанной окружности |
|
Формула для площади ромба через радиус вписанной окружности и угол ромба
r – радиус вписанной окружности, φ – любой из четырёх углов ромба |
| Трапеция |
|
Формула для площади трапеции через основания и высоту
a и b – основания, h – высота |
|
Формула для площади трапеции через среднюю линию и высоту
m – средняя линия, h – высота |
|
Формула для площади трапеции через ее диагонали и угол между ними
d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними |
|
Формула для площади трапеции через ее стороны
a и b – основания, c и d – боковые стороны |
| Дельтоид |
|
Формула для площади дельтоида через неравные стороны и угол между ними
a и b – неравные стороны, φ – угол между ними |
|
Формула для площади дельтоида через неравные стороны и углы между равными сторонами
a и b – неравные стороны, φ1 – угол между сторонами, равными a, φ2 – угол между сторонами, равными b. |
|
Формула для площади дельтоида через неравные стороны и радиус вписанной окружности
a и b – неравные стороны, r – радиус вписанной окружности |
|
Формула для площади дельтоида через его диагонали
d1, d2 – диагонали дельтоида |
| Произвольный выпуклый четырёхугольник |
|
Формула для площади выпуклого четырехугольника через его диагонали и угол между ними
d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними |
| Вписанный четырёхугольник |
|
Формула для площади четырехугольника, вписанного в окружность, через его стороны и полупериметр («Формула Брахмагупты»)
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, p – полупериметр
|
Вывод формул для площадей четырехугольников
УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле
где d1 и d2 – диагонали четырёхугольника, а φ – любой из четырёх углов между ними (рис. 1).
Рис. 1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:
что и требовалось доказать.
УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Площадь параллелограмма можно найти по формуле
S = a ha ,
где a – сторона параллелограмма, а ha – высота, опущенная на эту сторону (рис. 2).
Рис. 2
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому
SABCD = SAEFD = a ha ,
что и требовалось доказать.
УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Площадь параллелограмма можно найти по формуле
S = ab sin φ,
где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).
Рис. 3
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку
ha = b sin φ,
то, в силу утверждения 2, справедлива формула
S = a ha = ab sin φ,
что и требовалось доказать.
УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Площадь ромба можно найти по формуле
,
где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).
Рис. 4
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку каждая из диагоналей ромба является биссектрисой угла, а каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла, то точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех сторон ромба и является центром вписанной в ромб окружности. Отсюда следует, в частности, что высота ромба в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (рис.4). Поэтому
что и требовалось доказать.
УТВЕРЖДЕНИЕ 5. Площадь трапеции можно найти по формуле
,
где a и b – основания трапеции, а h – высота (рис.5).
Рис. 5
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD. Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF. Поэтому
что и требовалось доказать.
УТВЕРЖДЕНИЕ 6. Площадь трапеции можно найти по формуле
,
где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции
Рис. 6
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):
Следовательно,
что и требовалось доказать.
УТВЕРЖДЕНИЕ 7. Площадь дельтоида можно найти по формуле:
S = (a + b) r,
где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).
Рис. 7
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD. Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.
Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то
что и требовалось доказать.