Справочник по математикеГеометрия (Планиметрия) Треугольники

Медиана треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Рис.1

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

Рис.2

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Поскольку отрезок BD является медианой, то

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Рис.3

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Рис.4

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Рис.5

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC. Следовательно,

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC. Следовательно,

откуда вытекает, что стороны ED и FG четырёхугольника FEDG равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммом, а у параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополам (рис.6).

Рис.6

Таким образом,

| FO | = | OD | ,       | GO | = | OE | .

Следовательно,

| AF | = | FO | = | OD | ,      | CG | = | GO | = | OE | .

      Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении   2 : 1, считая от вершины треугольника.

Доказательство завершено.

СЛЕДСТВИЕ. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O, которая делит эту медиану в отношении   2 : 1, считая от вершины A (рис.7).

Рис.7

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Рис.8

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC, равна  площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Рис.9

Тогда

В силу утверждения 1,

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Длина медианы треугольника (рис. 10) вычисляется по формуле:

Рис.10

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся теоремой косинусов, примененной к треугольникам DBC и ABD:

Складывая эти равенства, получим:

что и требовалось доказать.

СЛЕДСТВИЕ. Длины медиан и длины сторон треугольника связаны формулой

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу утверждения 4 справедливы равенства:

Складывая эти равенства, получим:

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 5. В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим рисунок 11.

Рис.11

Поскольку AO – медиана треугольника ABD, а DO – медиана треугольника ADC, то, в силу утверждения 4, справедливы равенства:

Следовательно,

d₁² = 2a² + 2b² – d₂²,

d₂² = 2a² + 2b² – d₁².

Складывая эти равенства, получим

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 6. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы (рис. 12).

Рис.12

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Продолжим медиану CO за точку O до точки D так, чтобы было выполнено равенство CO = OD, и соединим полученную точку D с точками A и B (рис. 13).

Рис.13

Получим четырехугольник ADBC, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам. В силу признака параллелограмма заключаем, что четырехугольник ADBC является параллелограммом, а поскольку полученный параллелограмм содержит прямой угол C, то и все его углы прямые, следовательно, четырехугольник ADBC – прямоугольник. Поскольку диагонали прямоугольника равны, получаем равенства:

что и требовалось доказать.

СЛЕДСТВИЕ. Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около треугольника окружности (рис. 14).

Рис.14

УТВЕРЖДЕНИЕ 7. Рассмотрим в пространстве или на плоскости декартову систему координат с началом в точке O и произвольный треугольник ABC. Если обозначить буквой M точку пересечения медиан этого треугольника (рис.15), то будет справедливо равенство

Рис.15

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По свойствам векторов

Далее получаем

что и требовалось доказать.