Справочник по математикеГеометрия (Планиметрия) Углы

Углы на плоскости

Содержание

	Определение угла и его элементов. Равенство углов
	Прямые углы. Перпендикулярные прямые
	Измерение углов
	Типы углов в зависимости от величины в градусах
	Типы углов в зависимости от расположения сторон
	Биссектриса угла. Перпендикулярность биссектрис смежных углов

Определение угла и его элементов. Равенство углов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.

	Углом называют часть плоскости, ограниченную двумя лучами, выходящими из одной точки
	Лучи, ограничивающие угол, называют сторонами угла
	Точку, из которой выходят лучи, называют вершиной угла

ОБОЗНАЧЕНИЯ.

Рис.1

Изображенный на рисунке 1 угол можно обозначить тремя способами:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Углы называют равными углами, если их можно совместить.

Прямые углы. Перпендикулярные прямые

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.

	Если при пересечении двух прямых образуются четыре равных угла, то такие углы называют прямыми углами (рис.2) Рис.2
	Пересекающиеся прямые линии, образующие прямые углы, называют перпендикулярными прямыми.
	Если через точку A, не лежащую на прямой l, проведена прямая, перпендикулярная к прямой l и пересекающая прямую l точке B, то говорят, что из точки A опущен перпендикуляр AB на прямую l (рис.3). Рис.3
	Точку B называют основанием перпендикуляра AB.
	Длину отрезка AB называют расстоянием от точки A до прямой l.

Измерение углов

Углом в 1° (один градус) называют угол, составляющий одну девяностую часть прямого угла.

Угол, в k раз больший угла в 1°, называют углом в k° ( k градусов).

Углы измеряют также и в радианах. О радианах можно прочитать в разделе нашего справочника «Измерение углов. Градусы и радианы».

Типы углов в зависимости от величины в градусах

Прямой угол Прямой угол равен 90°

Острый угол Острый угол меньше 90°

Тупой угол Тупой угол больше 90°, но меньше 180°

Развернутый угол Развернутый угол равен 180°

Угол больший, чем развернутый Такой угол больше 180°, но меньше 360°

Полный угол Полный угол равен 360°

Угол, равный нулю Такой угол равен 0°

Вертикальные углы

Свойство вертикальных углов: Вертикальные углы равны

Смежные углы

Свойство смежных углов: Сумма смежных углов равна 180°

Углы с соответственно параллельными сторонами

Свойство углов с соответственно параллельными сторонами: Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если оба являются острыми или оба являются тупыми

Свойство углов с соответственно параллельными сторонами: Сумма  углов с соответственно параллельными сторонами равна 180°, если один из них острый, а другой тупой

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами

Свойство углов с соответственно перпендикулярными сторонами: Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны, если оба являются острыми или оба являются тупыми

Свойство углов с соответственно перпендикулярными сторонами: Сумма углов с соответственно перпендикулярными сторонами равна 180°, если один из них острый, а другой тупой

Биссектриса угла. Перпендикулярность биссектрис смежных углов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.

ЗАДАЧА. Доказать, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

РЕШЕНИЕ. Рассмотрим рисунок 4.

Рис.4

На этом рисунке углы AOB и BOC – смежные, а лучи OE и OD – биссектрисы этих углов. Поскольку

2α + 2β = 180°.

то

α + β = 90°,

что и требовалось доказать.