Mосква, Северо-восток

Площади четырехугольников

Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия формулы для площадей четырехугольниковФормулы для площадей четырехугольников
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия вывод формул для площадей четырехугольниковВывод формул для площадей четырехугольников
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия вывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольникаВывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

      В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

S = ab,

которая позволяет найти площадь прямоугольникапрямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

ЧетырехугольникРисунокФормула площадиОбозначения
ПрямоугольникПлощадь прямоугольникаS = ab

a и b – смежные стороны

Площадь прямоугольника

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Площадь прямоугольника

S = 2R2 sin φ

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

ПараллелограммПлощадь параллелограмма

S = a ha

Посмотреть вывод формулы

a – сторона,
haвысота, опущенная на эту сторону

Площадь параллелограмма

S = absin φ

Посмотреть вывод формулы

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Площадь параллелограмма

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратПлощадь квадратаS = a2

a – сторона квадрата

Площадь квадратаS = 4r2

r – радиус вписанной окружности

Площадь квадрата

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

dдиагональ квадрата

Площадь квадрата

S = 2R2

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

R – радиус описанной окружности

РомбПлощадь ромба

S = a ha

Посмотреть вывод формулы

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Площадь ромба

S = a2 sin φ

Посмотреть вывод формулы

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Площадь ромба

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

d1, d2 – диагонали

Площадь ромба

S = 2ar

Посмотреть вывод формулы

a – сторона,
r – радиус вписанной окружности

Площадь ромба

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

ТрапецияПлощадь трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a и b – основания,
h – высота

Площадь трапецииS = m h

m – средняя линия,
h – высота

Площадь трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Площадь трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

a и b – основания,
c и d  – боковые стороны

ДельтоидПлощадь дельтоидаS = ab sin φ

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Площадь дельтоидаПлощади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b.

Площадь дельтоида

S = (a + b) r

Посмотреть вывод формулы

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Площадь дельтоида

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

d1, d2 – диагонали

Произвольный выпуклый четырёхугольникПлощадь выпуклого четырехугольника

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольникПлощадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты

Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты,
Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты

Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
pполупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Площадь прямоугольника

S = ab

где
a и b – смежные стороны

Площадь прямоугольника

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Посмотреть вывод формулы

Площадь прямоугольника

S = 2R2 sin φ

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм
Площадь параллелограмма

S = a ha

где
a – сторона,
haвысота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

Площадь параллелограмма

S = absin φ

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

Площадь параллелограмма

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Квадрат
Площадь квадратаS = a2

где
a – сторона квадрата

Площадь квадратаS = 4r2

где
r – радиус вписанной окружности

Площадь квадрата

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
dдиагональ квадрата

Посмотреть вывод формулы

Площадь квадрата

S = 2R2

где
R – радиус описанной окружности

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб
Площадь ромба

S = a ha

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

Площадь ромба

S = a2 sin φ

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

Площадь ромба

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d1, d2 – диагонали

Посмотреть вывод формулы

Площадь ромба

S = 2ar

где
a – сторона,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Площадь ромба

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

Трапеция
Площадь трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
a и b – основания,
h – высота

Посмотреть вывод формулы

Площадь трапеции

S = m h

где
m – средняя линия,
h – высота

Площадь трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Площадь трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
a и b – основания,
c и d  – боковые стороны

Посмотреть вывод формулы

Дельтоид
Площадь дельтоида

S = ab sin φ

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Площадь дельтоидаПлощади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b.

Площадь дельтоида

S = (a + b) r

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Площадь дельтоида

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d1, d2 – диагонали

Посмотреть вывод формулы

Произвольный выпуклый четырёхугольник
Площадь выпуклого четырехугольника

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Вписанный четырёхугольник
Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты

Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты,
Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
pполупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

Прямоугольник
Площадь прямоугольника

S = ab

где
a и b – смежные стороны

Площадь прямоугольника

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Посмотреть вывод формулы

Площадь прямоугольника

S = 2R2 sin φ

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм
Площадь параллелограмма

S = a ha

где
a – сторона,
haвысота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

Площадь параллелограмма

S = absin φ

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

Площадь параллелограмма

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Квадрат
Площадь квадрата

S = a2

где
a – сторона квадрата

Площадь квадрата

S = 4r2

где
r – радиус вписанной окружности

Площадь квадрата

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
dдиагональ квадрата

Посмотреть вывод формулы

Площадь квадрата

S = 2R2

где
R – радиус описанной окружности

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб
Площадь ромба

S = a ha

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

Площадь ромба

S = a2 sin φ

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

Площадь ромба

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d1, d2 – диагонали

Посмотреть вывод формулы

Площадь ромба

S = 2ar

где
a – сторона,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Площадь ромба

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

Трапеция
Площадь трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
a и b – основания,
h – высота

Посмотреть вывод формулы

Площадь трапеции

S = m h

где
m – средняя линия,
h – высота

Площадь трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Площадь трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
a и b – основания,
c и d  – боковые стороны,
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Посмотреть вывод формулы

Дельтоид
Площадь дельтоида

S = ab sin φ

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

Площадь дельтоида

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b.

Площадь дельтоида

S = (a + b) r

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Площадь дельтоида

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d1, d2 – диагонали

Посмотреть вывод формулы

Произвольный выпуклый четырёхугольник
Площадь выпуклого четырехугольника

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Вписанный четырёхугольник
Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты
Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты
Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты

Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
pполупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

Вывод формул для площадей четырехугольников

      Утверждение 1. Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где  d1 и d2 – диагонали четырёхугольника, а φ – любой из четырёх углов между ними (рис. 1).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Рис. 1

      Доказательство. В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь параллелограммапараллелограмма можно найти по формуле

S = a ha ,

где a – сторона параллелограмма, а ha – высотавысотавысота, опущенная на эту сторону (рис. 2).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Рис. 2

      Доказательство. Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

SABCD = SAEFD = a ha ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3.Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

S = ab sin φ,

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Рис. 3

      Доказательство. Поскольку

ha = b sin φ,

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

S = a ha = ab sin φ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь ромбаромба можно найти по формуле

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Рис. 4

      Доказательство. Поскольку каждая из диагоналей ромба является биссектрисой угла, а каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла, то точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех сторон ромба и является центром вписанной в ромб окружности. Отсюда следует, в частности, что высота ромба в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (рис.4). Поэтому

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь трапеции можно найти по формуле

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул,

где a и b – основания трапеции, а h  – высотавысотавысота (рис.5).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Рис. 5

      Доказательство. Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD. Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF. Поэтому

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул ,
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции,
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул
(рис.6).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Рис. 6

      Доказательство. Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

      Следовательно,

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

где

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 7. Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

S = (a + b) r,

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

Рис. 7

      Доказательство. Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD. Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

      Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул
Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

что и требовалось доказать.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формулподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формулиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ

Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


Как решать задачи
по математике?

(495) 509-28-10
Репетиторы по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика