Занятия будут проходить 1 раз в неделю по 90 минут

Подробности по телефону   (495) 509-28-10

Нам не все равно, как Вы сдадите экзамены!

А Вам?

Справочник по математике

Геометрия (Планиметрия)

Треугольники

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

      Напомним определение биссектрисы угла.

      Определение 1. Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

      Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла). Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Рис. 1

      Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на биссектрисе угла BAC, и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

DF = DE,

что и требовалось доказать.

      Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1). Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Рис. 2

      Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE, а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

      Определение 2. Окружность называют окружностью, вписанной в угол, если она касается касается сторон этого угла.

      Теорема 3. Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

      Доказательство. Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC, а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Рис.3

      Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

AF = AE,

что и требовалось доказать.

      Замечание. Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

      Напомним определение биссектрисы треугольника.

      Определение 3. Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

      Теорема 4. В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Рис. 4

      Опустим из точки O перпендикуляры OD, OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

OD = OE,

      Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

OD = OF,

      Следовательно, справедливо равенство:

OE = OF,

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC. Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

     Определение 4. Окружностью, вписанной в треугольник, называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности.

Рис. 5

      Следствие. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

      Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности, удобно представить в виде следующей таблицы.

Фигура	Рисунок	Формула	Обозначения
Произвольный треугольник		Посмотреть вывод формулы	a, b, c – стороны треугольника, S – площадь, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр .
		Посмотреть вывод формулы
Равнобедренный треугольник		Посмотреть вывод формулы	a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности
Равносторонний треугольник		Посмотреть вывод формулы	a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности
Прямоугольный треугольник		Посмотреть вывод формул	a, b – катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, r – радиус вписанной окружности

Произвольный треугольник
	где a, b, c – стороны треугольника, S –площадь, r –  радиус вписанной окружности, p – полупериметр . Посмотреть вывод формулы
	где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр . Посмотреть вывод формулы
Равнобедренный треугольник
	где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы
Равносторонний треугольник
	где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы
Прямоугольный треугольник
	где a, b – катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формул

Произвольный треугольник

где a, b, c – стороны треугольника, S –площадь, r –  радиус вписанной окружности, p – полупериметр . Посмотреть вывод формулы

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр . Посмотреть вывод формулы

Равнобедренный треугольник

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы

Равносторонний треугольник

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы

Прямоугольный треугольник

где a, b – катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, r – радиус вписанной окружности Посмотреть вывод формулы

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

      Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).

Рис. 6

      Доказательство. Из формулы

с помощью формулы Герона получаем:

что и требовалось.

      Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Рис. 7

      Доказательство. Поскольку для произвольного треугольника справедлива формула

где

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

получаем

что и требовалось.

      Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Рис. 8

      Доказательство. Поскольку для равнобедренного треугольника справедлива формула

то, в случае равностороннего треугольника, когда

b = a,

получаем

что и требовалось.

      Замечание. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

      Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

где a, b – катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, r – радиус вписанной окружности.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 9.

Рис. 9

      Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольникомпрямоугольником, у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадратквадрат. Следовательно,

СD = СF= r,

      В силу теоремы 3 справедливы равенства

      Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

что и требовалось.

      Замечание. Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

подготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

индивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»