Вывод формулы Герона и формулы Брахмагупты

площадь треугольника формула Герона вывод формулы ГеронаВывод формулы Герона
площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы БрахмагуптыВывод формулы Брахмагупты
площадь треугольника формула Герона площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Герона вывод формулы Брахмагупты

Вывод формулы Герона

      Утверждение 1. Площадь произвольного треугольника можно найти по формуле Герона:

площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона

где   a , b , c   – длины сторон треугольника, а   p   – полупериметр треугольника, т.е.

площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона.

      Доказательство.

площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона

Рис.1

      Поскольку (рис.1)

площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона

то

площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона
площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона

      Воспользовавшись теоремой косинусов, получаем:

площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона
площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона

      Следовательно,

площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона
площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона
площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона

      Таким образом,

площадь треугольника формула Герона вывод формулы Герона

что и требовалось доказать.

Вывод формулы Брахмагупты

      Утверждение 2. Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, можно найти по формуле Брахмагупты:

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

где   a , b , c , d   – длины сторон четырёхугольника, а   p   – полупериметр, т.е.

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

      Доказательство.

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

Рис.2

      Если угол   D   четырёхугольника   ABCD   обозначить буквой   φ   (рис.2), то, поскольку сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна   π ,   угол   B   будет равен   π – φ .   По этой причине

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты
площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

      Следовательно,

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты
площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

      Применяя теорему косинусов к треугольнику   ACD ,   получаем:

AC 2 = a2 + b2 – 2bc cos φ .

      Применяя теорему косинусов к треугольнику   ABC ,   получаем:

AC 2 =
=
c2 + d 2 – 2cd cos (π – φ) =
=
c2 + d 2 + 2cd cos φ .

      Следовательно,

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты
площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты
площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

где буквами   A   и   B   обозначены выражения

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

      Поэтому

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты
площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты
площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

Преобразуем каждую скобку

B + A = 2 (ab +cd) +
+ a2 + b2c2d2 =
= a2 + 2ab + b2
– (c2 – 2cd + d2) =
= (a + b)2 – (c – d)2 =
= (a + b + c – d)
(a + b – c + d) =
= (2p – 2d)(2p – 2c) =
= 4(pd)(pc) ;

B – A = 2 (ab +cd) –
– (a2 + b2c2d2) =
= – (a2 – 2ab + b2) +
+ (c2 + 2cd + d2) =
= (c + d)2 – (a – b)2 =
= (c + d + a – b)
(c + d – a + b) =
= (2p – 2b)(2p – 2a) =
= 4(pb)(pa) .

Буквой   p   здесь обозначен полупериметр четырехугольника   ABCD

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

Подставляя преобразованные выражения в формулу для   S2 , получаем

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

      Таким образом,

площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты вывод формулы Брахмагупты

что и требовалось доказать.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика