![]() |
![]() |
Утверждение 1. Площадь произвольного треугольника можно найти по формуле Герона:
где a , b , c – длины сторон треугольника, а p – полупериметр треугольника, т.е.
.
Доказательство.
Рис.1
Поскольку (рис.1)
то
Воспользовавшись теоремой косинусов, получаем:
Следовательно,
Таким образом,
что и требовалось доказать.
Утверждение 2. Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, можно найти по формуле Брахмагупты:
где a , b , c , d – длины сторон четырёхугольника, а p – полупериметр, т.е.
Доказательство.
Рис.2
Если угол D четырёхугольника ABCD обозначить буквой φ (рис.2), то, поскольку сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна π , угол B будет равен π – φ . По этой причине
Следовательно,
Применяя теорему косинусов к треугольнику ACD , получаем:
AC 2 = a2 + b2 – 2bc cos φ .
Применяя теорему косинусов к треугольнику ABC , получаем:
Следовательно,
где буквами A и B обозначены выражения
Поэтому
Преобразуем каждую скобку
B + A = 2 (ab +cd) +
+ a2 + b2 – c2 – d2 =
= a2 + 2ab + b2 –
– (c2 – 2cd + d2) =
= (a + b)2 – (c – d)2 =
= (a + b + c – d)
(a + b – c + d) =
= (2p – 2d)(2p – 2c) =
= 4(p – d)(p – c) ;
B – A = 2 (ab +cd) –
– (a2 + b2 – c2 – d2) =
= – (a2 – 2ab + b2) +
+ (c2 + 2cd + d2) =
= (c + d)2 – (a – b)2 =
= (c + d + a – b)
(c + d – a + b) =
= (2p – 2b)(2p – 2a) =
= 4(p – b)(p – a) .
Буквой p здесь обозначен полупериметр четырехугольника ABCD
Подставляя преобразованные выражения в формулу для S2 , получаем
Таким образом,
что и требовалось доказать.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |