Справочник по математике

Геометрия (Планиметрия)

Площади

Вывод формулы Герона и формулы Брахмагупты

Вывод формулы Герона

Вывод формулы Брахмагупты

Вывод формулы Герона

      Утверждение 1. Площадь произвольного треугольника можно найти по формуле Герона:

где   a , b , c   – длины сторон треугольника, а   p   – полупериметр треугольника, т.е.

.

      Доказательство.

Рис.1

      Поскольку (рис.1)

то

      Воспользовавшись теоремой косинусов, получаем:

      Следовательно,

      Таким образом,

что и требовалось доказать.

Вывод формулы Брахмагупты

      Утверждение 2. Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, можно найти по формуле Брахмагупты:

где   a , b , c , d   – длины сторон четырёхугольника, а   p   – полупериметр, т.е.

      Доказательство.

Рис.2

      Если угол   D   четырёхугольника   ABCD   обозначить буквой   φ   (рис.2), то, поскольку сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна   π ,   угол   B   будет равен   π – φ .   По этой причине

      Следовательно,

      Применяя теорему косинусов к треугольнику   ACD ,   получаем:

AC ² = a² + b² – 2bc cos φ .

      Применяя теорему косинусов к треугольнику   ABC ,   получаем:

      Следовательно,

где буквами   A   и   B   обозначены выражения

      Поэтому

Преобразуем каждую скобку

B + A = 2 (ab +cd) +
+ a² + b² – c² – d² =
= a² + 2ab + b² –
– (c² – 2cd + d²) =
= (a + b)² – (c – d)² =
= (a + b + c – d)
(a + b – c + d) =
= (2p – 2d)(2p – 2c) =
= 4(p – d)(p – c) ;

B – A = 2 (ab +cd) –
– (a² + b² – c² – d²) =
= – (a² – 2ab + b²) +
+ (c² + 2cd + d²) =
= (c + d)² – (a – b)² =
= (c + d + a – b)
(c + d – a + b) =
= (2p – 2b)(2p – 2a) =
= 4(p – b)(p – a) .

Буквой   p   здесь обозначен полупериметр четырехугольника   ABCD

Подставляя преобразованные выражения в формулу для   S² , получаем

      Таким образом,

что и требовалось доказать.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.