Углы на плоскости

      Углом называют часть плоскости, ограниченную двумя лучами, выходящими из одной точки. Лучи,ограничивающие угол, называют сторонами угла. Точку, из которой выходят лучи, называют вершиной угла.

      Схему обозначения углов рассмотрим на примере угла, изображенного на рисунке 1.

Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойства

Рис.1

      Изображенный на рисунке 1 угол можно обозначить тремя способами: Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойства

      Углы называют равными углами, если их можно совместить.

      Если при пересечении двух прямых образуются четыре равных угла, то такие углы называют прямыми углами (рис.2). Пересекающиеся прямые линии, образующие прямые углы, называют перпендикулярными прямыми.

Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойства

Рис.2

      Если через точку A, не лежащую на прямой l, проведена прямая, перпендикулярная к прямой l и пересекающая прямую l точке B, то говорят, что из точки B опущен перпендикупяр AB на прямую l (рис.3). Точку B называют основанием перпендикуляра AB.

Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойства

Рис.3

      Замечание. Длину отрезка AB называют расстоянием от точки A до прямой l.

      Углом в 1° (один градус) называют угол, составляющий одну девяностую часть прямого угла.

      Угол, в k раз больший угла в , называют углом в ( k градусов).

      Углы измеряют также и в радианах. О радианах можно прочитать в разделе нашего справочника «Измерение углов. Градусы и радианы».

Таблица 1 – Типы углов в зависимости от величины в градусах

РисунокТипы угловСвойства углов
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойстваПрямой уголПрямой угол равен 90°
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойстваОстрый уголОстрый угол меньше 90°
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойстваТупой уголТупой угол больше 90°, но меньше 180°
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойстваРазвернутый уголРазвернутый угол равен 180°
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойстваУгол больший, чем развернутыйТакой угол больше 180°, но меньше 360°
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойстваПолный уголПолный угол равен 360°
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойстваУгол, равный нулюТакой угол равен
Прямой угол
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойства

Свойство:

Прямой угол равен 90°

Острый угол
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойства

Свойство:

Острый угол меньше 90°

Тупой угол
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойства

Свойство:

Тупой угол больше 90°, но меньше 180°

Развернутый угол
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойства

Свойство:

Развернутый угол равен 180°

Угол больший, чем развернутый
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойства

Свойство:

Такой угол больше 180°, но меньше 360°

Полный угол
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойства

Свойство:

Полный угол равен 360°

Угол, равный нулю
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойства

Свойство:

Такой угол равен

Таблица 2 – Типы углов в зависимости расположения сторон

РисунокТипы угловСвойства углов
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойстваВертикальные углыВертикальные углы равны
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойстваСмежные углыСумма смежных углов равна 180°
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойстваУглы с соответственно параллельными сторонамиУглы с соответственно параллельными сторонами равны, если оба являются острыми или оба являются тупыми
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойстваСумма  углов с соответственно параллельными сторонами равна 180°, если один из них острый, а другой тупой
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойстваУглы с соответственно перпендикулярными сторонамиУглы с соответственно перпендикулярными сторонами равны, если оба являются острыми или оба являются тупыми
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойстваСумма углов с соответственно перпендикулярными сторонами равна 180°, если один из них острый, а другой тупой
Вертикальные углы
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойства

Свойство вертикальных углов:

Вертикальные углы равны

Смежные углы
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойства

Свойство смежных углов:

Сумма смежных углов равна 180°

Углы с соответственно параллельными сторонами
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойства

Свойство углов с соответственно параллельными сторонами:

Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если оба являются острыми или оба являются тупыми

Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойства

Свойство углов с соответственно параллельными сторонами:

Сумма  углов с соответственно параллельными сторонами равна 180°, если один из них острый, а другой тупой

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами
Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойства

Свойство углов с соответственно перпендикулярными сторонами:

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами равны, если оба являются острыми или оба являются тупыми

Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойства

Свойство углов с соответственно перпендикулярными сторонами:

Сумма углов с соответственно перпендикулярными сторонами равна 180°, если один из них острый, а другой тупой

      Определение. Биссектрисой угла называют луч, делящий угол пополам.

      Задача. Доказать, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

      Решение. Рассмотрим рисунок 4.

Углы прямые острые тупые развернутые вертикальные смежные с соответственно параллельными сторонами с соответственно перпендикулярными сторонами рисунки и свойства

Рис.4

      На этом рисунке углы AOB и BOC – смежные, а лучи OE и OD – биссектрисы этих углов. Поскольку

2α + 2β = 180°.

то

α + β = 90°,

что и требовалось доказать.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

   На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд



НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ




НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика