Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям

Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия взаимное расположение двух окружностейВзаимное расположение двух окружностей
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия общие касательные к двум окружностямОбщие касательные к двум окружностям
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия формулы для длин общих касательных и общей хордыФормулы для длин общих касательных и общей хорды
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия доказательства формул для длин общих касательных и общей хордыДоказательства формул для длин общих касательных и общей хорды
две окружности взаимное расположение длина общей внешней внутренней касательной общей хорды вывод формул

Взаимное расположение двух окружностей

ФигураРисунокСвойства
Две окружности на плоскостиВзаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

d = O1O2

Каждая из окружностей лежит вне другойВзаимное  расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

d > r1 + r2

Внешнее касание двух окружностейВзаимное расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

d = r1 + r2

Внутреннее касание двух окружностейВзаимное расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

d = r1 – r2

Окружности пересекаются в двух точкахВзаимное расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 < d < r1 + r2

Одна из окружностей лежит внутри другойВзаимное расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d < r1 – r2

Две окружности на плоскости
Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

d = O1O2

Каждая из окружностей лежит вне другой
Взаимное  расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

d > r1 + r2

Внешнее касание двух окружностей
Взаимное расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

d = r1 + r2

Внутреннее касание двух окружностей
Взаимное расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

d = r1 – r2

Окружности пересекаются в двух точках
Взаимное расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 < d < r1 + r2

Одна из окружностей лежит внутри другой
Взаимное расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d < r1 – r2

Две окружности на плоскости
Взаимное расположение двух окружностей
Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей

d = O1O2

Каждая из окружностей лежит вне другой
Взаимное  расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов

d > r1 + r2

Внешнее касание двух окружностей
Взаимное расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов

d = r1 + r2

Внутреннее касание двух окружностей
Взаимное расположение двух окружностей
Взаимное расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов

d = r1 – r2

Окружности пересекаются в двух точках
Взаимное расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов

r1 – r2 < d < r1 + r2

Одна из окружностей лежит внутри другой
Взаимное расположение двух окружностей
Взаимное расположение двух окружностей

Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов

d < r1 – r2

Общие касательные к двум окружностям

ФигураРисунокСвойства
Внешняя касательная к двум окружностямОбщие касательные к двум окружностям

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Внутренняя касательная к двум окружностямОбщие касательные к двум окружностям

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Внутреннее касание двух окружностейОбщие касательные к двум окружностям

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Окружности пересекаются в двух точкахОбщие касательные к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внешнее касание двух окружностейОбщие касательные к двум окружностям

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Общие касательные к двум окружностям

Каждая из окружностей лежит вне другой

Общие касательные к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Общие касательные к двум окружностям
Внешняя касательная к двум окружностям
Общие касательные к двум окружностям

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Внутренняя касательная к двум окружностям
Общие касательные к двум окружностям

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Внутреннее касание двух окружностей
Общие касательные к двум окружностям

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Окружности пересекаются в двух точках
Общие касательные к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внешнее касание двух окружностей
Общие касательные к двум окружностям

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Общие касательные к двум окружностям
Каждая из окружностей лежит вне другой

Общие касательные к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Общие касательные к двум окружностям
Внешняя касательная к двум окружностям
Общие касательные к двум окружностям
Общие касательные к двум окружностям

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Внутренняя касательная к двум окружностям
Общие касательные к двум окружностям
Общие касательные к двум окружностям

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Внутреннее касание двух окружностей
Общие касательные к двум окружностям
Общие касательные к двум окружностям

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Окружности пересекаются в двух точках
Общие касательные к двум окружностям
Общие касательные к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Внешнее касание двух окружностей

Общие касательные к двум окружностям
Общие касательные к двум окружностям

Общие касательные к двум окружностям
Общие касательные к двум окружностям

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Общие касательные к двум окружностям

Общие касательные к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

ФигураРисунокФормула
Внешняя касательная к двум окружностямФормулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Формулы  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Посмотреть доказательство

Внутренняя касательная к двум окружностямФормулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Посмотреть доказательство

Общая хорда двух пересекающихся окружностейФормулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Посмотреть доказательство

Внешняя касательная к двум окружностям
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Формулы  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Посмотреть доказательство

Внутренняя касательная к двум окружностям
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Посмотреть доказательство

Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Посмотреть доказательство

Внешняя касательная к двум окружностям
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Формулы  для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Посмотреть доказательство

Внутренняя касательная к двум окружностям
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Посмотреть доказательство

Общая хорда двух пересекающихся окружностей
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

где

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Посмотреть доказательство

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Утверждение 1. Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Доказательство. Для того, чтобы найти длину отрезка K1K2, опустим из точки O2 перпендикуляр O2K3 на прямую O1K1 (рис.1).

Доказательство формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
Доказательство формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Рис.1

      Поскольку четырёхугольник O2K2K1K3прямоугольник, то справедливы равенства

O2K3 = K1K2 ,     K1K3 = r2 ,     O1K3 = r1 – r2 .

      Воспользовавшись этими равенствами, из прямоугольного треугольника O1O2K3 получаем:

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Следовательно,

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d, то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Доказательство. Для того, чтобы найти длину отрезка K1K2 , опустим из точки O2 перпендикуляр O2K3 на прямую O1K1 (рис.2).

Доказательство формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
Доказательство формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Рис.2

      Поскольку четырёхугольник O2K2K1K3прямоугольник, то справедливы равенства

O2K3 = K1K3 ,     K1K3 = r2 ,     O1K3 = r1 + r2 .

      Воспользовавшись этими равенствами, из прямоугольного треугольника O1O2K3 получаем:

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Следовательно,

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3. Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d, то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

где

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Доказательство. Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Доказательство формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
Доказательство формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Рис.3

следующие обозначения:

O2C = y,     CB = x .

      Тогда, воспользовавшись теоремой Пифагора для треугольников O1CB и O2CB, получим

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Поэтому

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

      Таким образом, справедлива формула:

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

где

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

что и требовалось доказать.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ











Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика