Рассмотрим n отрезков
[A1 A2], [A2 A3], … , [An An +1] | (1) |
причём таких, что два любых отрезка, имеющих общий конец, не лежат на одной прямой (рис.1).
Рис. 1
Определение 1. Ломаной линией с n звеньями называют фигуру L, составленную из отрезков (1), то есть фигуру, заданную равенством
В случае, когда точки A1 и An +1 совпадают, ломаную линию называют замкнутой ломаной линией (рис. 2), в противном случае её называют незамкнутой (рис.1).
Рис. 2
Определение 2. Многоугольником называют часть плоскости, ограниченную замкнутой ломаной линией без самопересечений (рис. 3). Отрезки, составляющие ломаную линию (звенья), называют сторонами многоугольника. Концы отрезков называют вершинами многоугольника.
Рис. 3
Определение 3. Многоугольник называют n – угольником, если он имеет n сторон.
Таким образом, многоугольник, имеющий 3 стороны, называют треугольником, многоугольник, имеющий 4 стороны, называют четырёхугольником и т.д.
Определение 4 . Периметром многоугольника называют сумму длин всех сторон многоугольника.
Величину, равную половине периметра, называют полупериметром.
Фигура | Рисунок | Описание |
Диагональ многоугольника | ![]() | Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника |
Диагонали n – угольника, выходящие из одной вершины | ![]() | Диагонали, выходящие из одной вершины n – угольника, делят n – угольник на n – 2 треугольника |
Все диагонали n – угольника | ![]() | Число диагоналей n – угольника равно |
Диагональ многоугольника |
![]() Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника |
Диагонали n – угольника, выходящие из одной вершины |
![]() Диагонали, выходящие из одной вершины n – угольника, делят n – угольник на n – 2 треугольника |
Все диагонали n – угольника |
![]() Число диагоналей n – угольника равно |
Определение 5 . Два угла называют смежными, если они имеют общую сторону, и их сумма равна 180° (рис.1).
Рис.1
Определение 6 . Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с внутренним углом многоугольника (рис.2).
Рис.2
Замечание. Мы рассматриваем только выпуклые многоугольникивыпуклые многоугольники.
Фигура | Рисунок | Формулировка теоремы |
Углы треугольника | ![]() | Сумма углов треугольника равна 180° α + β + γ = 180° |
Внешний угол треугольника | ![]() | Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним δ = α + β |
Углы треугольника |
![]() Сумма углов треугольника равна 180° α + β + γ = 180° |
Внешний угол треугольника |
![]() ![]() Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним δ = α + β |
Фигура | Рисунок | Формулировка теоремы |
Углы n – угольника | ![]() | Сумма углов многоугольника равна |
Внешние углы n – угольника | ![]() | Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360° |
Углы n – угольника |
![]() Сумма углов многоугольника равна |
Внешние углы n – угольника |
![]() Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360° |
Фигура | Рисунок | Формулировка теоремы |
Углы правильного n – угольника | ![]() | Все углы правильного n – угольника равны |
Внешние углы правильного n – угольника | ![]() | Все внешние углы правильного |
Углы правильного n – угольника |
![]() Все углы правильного n – угольника равны |
Внешние углы правильного n – угольника |
![]() Все внешние углы правильного |
Теорема 1. В любом треугольнике сумма углов равна 180°.
Доказательство. Проведем, например, через вершину B произвольного треугольника ABC прямую DE, параллельную прямой AC, и рассмотрим полученные углы с вершиной в точке B (рис. 3).
Рис.3
Углы ABD и BAC равны как внутренние накрест лежащие. По той же причине равны углы ACB и CBE. Поскольку углы ABD, ABC и CBE в сумме составляют развёрнутый угол, то и сумма углов треугольника ABC равна 180°. Теорема доказана.
Теорема 2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.
Доказательство. Проведём через вершину C прямую CE, параллельную прямой AB, и продолжим отрезок AC за точку C (рис.4).
Рис.4
Углы ABC и BCE равны как внутренние накрест лежащие. Углы BAC и ECD равны как соответственные равны как соответственные. Поэтому внешний угол BCD равен сумме углов BAC и ABC. Теорема доказана.
Замечание. Теорема 1 является следствием теоремы 2.
Теорема 3. Сумма углов n – угольника равна
Доказательство. Выберем внутри n – угольника произвольную точку O и соединим её со всеми вершинами n – угольника (рис. 5).
Рис.5
Получим n треугольников:
OA1A2, OA2A3, … OAnA1
Сумма углов всех этих треугольников равна сумме всех внутренних углов n – угольника плюс сумма всех углов с вершиной в точке O. Поэтому сумма всех углов n – угольника равна
что и требовалось доказать.
Теорема 4. Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360°.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 6.
Рис.6
В соответствии рисунком 6 справедливы равенства
Теорема доказана.
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |