Многоугольники

Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия определение многоугольникаОпределение многоугольника
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия диагонали n – угольникаДиагонали n – угольника
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия внешний угол многоугольникаВнешний угол многоугольника
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия свойства углов треугольникаСвойства углов треугольника
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия свойства углов многоугольникаСвойства углов многоугольника
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия свойства углов правильного n – угольникаСвойства углов правильного n – угольника
Справочник по математике для школьников геометрия планиметрия доказательства свойств углов многоугольникаДоказательства теорем о свойствах углов многоугольника
замнкнутая ломаная многоугольник диагонали свойства углов многоугольника внешние углы смежные углы доказательства

Определение многоугольника

      Рассмотрим n отрезков

[A1 A2],   [A2 A3],   …   , [An An +1] (1)

причём таких, что два любых отрезка, имеющих общий конец, не лежат на одной прямой (рис.1).

Многоугольник замкнутая ломаная

Рис. 1

      Определение 1. Ломаной линией с n звеньями называют фигуру L, составленную из отрезков (1), то есть фигуру, заданную равенством

L = [A1 A2] U [A2 A3] U   …
 U [An An +1]

      В случае, когда точки A1 и An +1 совпадают, ломаную линию называют замкнутой ломаной линией (рис. 2), в противном случае её называют незамкнутой (рис.1).

Многоугольник замкнутая ломаная

Рис. 2

      Определение 2. Многоугольником называют часть плоскости, ограниченную замкнутой ломаной линией без самопересечений (рис. 3). Отрезки, составляющие ломаную линию (звенья), называют сторонами многоугольника. Концы отрезков называют вершинами многоугольника.

Многоугольник замкнутая ломаная

Рис. 3

      Определение 3. Многоугольник называют n – угольником, если он имеет n сторон.

      Таким образом, многоугольник, имеющий 3 стороны, называют треугольником, многоугольник, имеющий 4 стороны, называют четырёхугольником и т.д.

      Определение 4 . Периметром многоугольника называют сумму длин всех сторон многоугольника.

      Величину, равную половине периметра, называют полупериметром.

Диагонали n - угольника

ФигураРисунокОписание
Диагональ
многоугольника
диагонали многоугольникаДиагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника
Диагонали
n – угольника, выходящие из одной вершины
диагонали многоугольникаДиагонали, выходящие из одной вершины
n – угольника, делят n – угольник на
n – 2 треугольника
Все диагонали
n – угольника
диагонали многоугольника

Число диагоналей n – угольника равно

диагонали многоугольника

Диагональ многоугольника
диагонали многоугольника

Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника

Диагонали n – угольника, выходящие из одной вершины
диагонали многоугольника

Диагонали, выходящие из одной вершины n – угольника, делят n – угольник на n – 2 треугольника

Все диагонали n – угольника
диагонали многоугольника

Число диагоналей n – угольника равно

диагонали многоугольника

Внешний угол многоугольника

      Определение 5 . Два угла называют смежными, если они имеют общую сторону, и их сумма равна 180° (рис.1).

Внешний угол многоугольника смежные углы

Рис.1

      Определение 6 . Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с внутренним углом многоугольника (рис.2).

Внешний угол многоугольника смежные углы

Рис.2

      Замечание. Мы рассматриваем только выпуклые многоугольникивыпуклые многоугольники.

Свойства углов треугольника

ФигураРисунокФормулировка теоремы
Углы треугольникаСвойства углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

α + β + γ = 180°

Посмотреть доказательство

Внешний угол треугольникаВнешний угол треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним

δ = α + β

Посмотреть доказательство

Углы треугольника
Свойства углов треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°

α + β + γ = 180°

Посмотреть доказательство

Внешний угол треугольника
Внешний угол треугольника
Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним

δ = α + β

Посмотреть доказательство

Свойства углов многоугольника

ФигураРисунокФормулировка теоремы
Углы
n – угольника
Свойства углов многоугольника

Сумма углов многоугольника равна

Свойства углов многоугольника

Посмотреть доказательство

Внешние углы
n – угольника
Свойства углов многоугольника

Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360°

Посмотреть доказательство

Углы n – угольника
Свойства углов многоугольника

Сумма углов многоугольника равна

Свойства углов многоугольника

Посмотреть доказательство

Внешние углы n – угольника
Свойства углов многоугольника

Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360°

Посмотреть доказательство

Свойства углов правильного n – угольника

ФигураРисунокФормулировка теоремы
Углы правильного
n – угольника
Свойства углов правильного многоугольника

Все углы правильного n – угольника равны

Свойства углов правильного многоугольника

Внешние углы
правильного
n – угольника
Свойства углов правильного многоугольника

Все внешние углы правильного
n – угольника
равны

Свойства углов правильного многоугольника

Углы правильного n – угольника
Свойства углов правильного многоугольника

Все углы правильного n – угольника равны

Свойства углов правильного многоугольника

Внешние углы правильного n – угольника
Свойства углов правильного многоугольника

Все внешние углы правильного
n – угольника
равны

Свойства углов правильного многоугольника

Доказательства свойств углов многоугольника

      Теорема 1. В любом треугольнике сумма углов равна 180°.

      Доказательство. Проведем, например, через вершину B произвольного треугольника ABC прямую DE, параллельную прямой AC, и рассмотрим полученные углы с вершиной в точке B (рис. 3).

Свойства углов треугольника доказательство

Рис.3

      Углы ABD и BAC равны как внутренние накрест лежащие. По той же причине равны углы ACB и CBE. Поскольку углы ABD, ABC и CBE в сумме составляют развёрнутый угол, то и сумма углов треугольника ABC равна 180°. Теорема доказана.

      Теорема 2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

      Доказательство. Проведём через вершину C прямую CE, параллельную прямой AB, и продолжим отрезок AC за точку C (рис.4).

Свойства углов треугольника доказательство
Свойства углов треугольника доказательство

Рис.4

      Углы ABC и BCE равны как внутренние накрест лежащие. Углы BAC и ECD равны как соответственные равны как соответственные. Поэтому внешний угол BCD равен сумме углов BAC и ABC. Теорема доказана.

      Замечание. Теорема 1 является следствием теоремы 2.

      Теорема 3. Сумма углов n – угольника равна

Свойства углов многоугольника

      Доказательство. Выберем внутри n – угольника произвольную точку O и соединим её со всеми вершинами n – угольника (рис. 5).

Свойства углов многоугольника

Рис.5

      Получим n треугольников:

OA1A2OA2A3,  …  OAnA1

      Сумма углов всех этих треугольников равна сумме всех внутренних углов n – угольника плюс сумма всех углов с вершиной в точке O. Поэтому сумма всех углов n – угольника равна

Свойства углов многоугольника

что и требовалось доказать.

      Теорема 4. Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360°.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 6.

Свойства углов многоугольника

Рис.6

      В соответствии рисунком 6 справедливы равенства

Свойства углов многоугольника
Свойства углов многоугольника
Свойства углов многоугольника
Свойства углов многоугольника

      Теорема доказана.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ






Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика