Справочник по математикеАрифметика Проценты

Проценты. Решение задач на проценты

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Одним процентом от числа   a   ( 1% от числа   a ) называют число, равное

k  процентами от числа   a   ( k % от числа   a ) называют число, равное

Число   a   называют базой для вычисления процентов.

ЗАМЕЧАНИЕ. Понятие «проценты» всегда подразумевает существование числа (базы), от которого проценты вычисляются. Проценты не существуют сами по себе.

ПРИМЕР 1. Найти   1%   от числа   72 .

РЕШЕНИЕ.   1%   от числа   72   вычисляется по формуле

ОТВЕТ.   0,72

ПРИМЕР 2. Найти   5%   от числа   48 .

РЕШЕНИЕ.   5%   от числа   48   вычисляется по формуле

ОТВЕТ   2,4

ПРИМЕР 3. Сколько процентов составляет число   81   от числа   90 ?

РЕШЕНИЕ 1. Предположим, что число   81   составляет   x %   от числа   90 ,   и запишем это в следующем виде:

90       ↔       100%

81       ↔           x %

Для того, чтобы найти неизвестный член пропорции

воспользуемся основным свойством пропорции

ОТВЕТ.   90%

РЕШЕНИЕ 2. Предположим, что число   81   равно   x %   от числа   90 ,   и, в соответствии с определением процентов, составим уравнение

Решая это уравнение, получаем

ОТВЕТ   90%

ПРИМЕР 4. Сколько процентов составляет число   320   от числа   50 ?

РЕШЕНИЕ 1. Предположим, что число   320   составляет   x %   от числа   50 ,   и запишем это в следующем виде:

50       ↔       100%

320       ↔           x %

Для того, чтобы найти неизвестный член пропорции

воспользуемся основным свойством пропорции

ОТВЕТ.   640%

РЕШЕНИЕ 2. Предположим, что число   320   равно   x %   от числа   50 ,   и, в соответствии с определением процентов, составим уравнение

Решая это уравнение, получаем

.

ОТВЕТ.   640%

ПРИМЕР 5. Найти число, если   30%   процентов этого числа равны   18 .

РЕШЕНИЕ. Обозначим искомое число буквой   x   и, в соответствии с определением процентов, составим уравнение

Решая это уравнение, получаем

ОТВЕТ.   60

ПРИМЕР 6. Найти число, если   12%   процентов этого числа равны   36 .

РЕШЕНИЕ. Обозначим искомое число буквой   x   и, в соответствии с определением процентов, составим уравнение

Решая это уравнение, получаем

ОТВЕТ.  300

ПРИМЕР 7. Число увеличилось в   2,7   раза. На сколько процентов увеличилось это число?

РЕШЕНИЕ. Обозначим рассматриваемое число буквой   a .   При  увеличении этого числа в   2,7   раза (т.е. при умножении на   2,7) число   a   увеличивается на число, равное

2,7a – a = 1,7a .

Записывая данные для составления пропорции в виде

       a       ↔       100%

1,7a       ↔          x %

получаем:

Далее с помощью основного свойства пропорции находим

x = 170 .

ОТВЕТ.   170%

ПРИМЕР 8. Число уменьшилось в   2,5   раза. На сколько процентов уменьшилось это число?

РЕШЕНИЕ. Обозначим рассматриваемое число буквой   a .   При уменьшении этого числа в   2,5   раза (т.е. при делении на   2,5 ) число   a   уменьшается на число, равное

Записывая данные для составления пропорции в виде

      a       ↔       100%

0,6a       ↔       x %

получаем:

Далее с помощью основного свойства пропорции находим

x = 60 .

ОТВЕТ.   60%

ПРИМЕР 9. Число увеличилось на   7% .   Во сколько раз увеличилось это число?

РЕШЕНИЕ. Обозначая рассматриваемое число буквой   a ,   а буквой   b   – число   a ,   увеличенное на   7% ,   получаем

b = a + 0,07a =1,07a .

Следовательно,

.

ОТВЕТ. В   1,07   раза.

ПРИМЕР 10. Число  d  на  16%   меньше числа   c . Какую часть составляет число   d   от числа   c ?

РЕШЕНИЕ. Поскольку

d = c – 0,16c =0,84c .

то

ОТВЕТ. Число   d   составляет   0,84  от числа   c .

ПРИМЕР 11. Налог на добавленную стоимость (НДС) равняется   18%   цены товара. Найти цену товара без учета НДС, если товар с учетом НДС стоит   1652 рубля.

РЕШЕНИЕ. Обозначим цену товара без учета НДС буквой   a .   Стоимость товара с учетом НДС равна

100% + 18% = 118%

от числа   a .   Следовательно,

1,18a = 1652 ,

ОТВЕТ.   1400 рублей.

      ПРИМЕР 12. Свежие фрукты содержат   82%   воды, а сухофрукты содержат   20%   воды. Сколько килограммов сухофруктов получится из   1000   килограммов свежих фруктов?

РЕШЕНИЕ. Как свежие фрукты, так и сухофрукты, состоят из сухого вещества и воды, причем при высушивании фруктов вода частично испаряется (ее масса уменьшается), а масса сухого вещества остается неизменной.

Поскольку свежие фрукты содержат   82%   воды, то масса сухого вещества в них составляет   18% .   Поэтому в   1000  килограммов свежих фруктов сухого вещества содержится

(кг).

В сухофруктах вода составляет   20% ,   а сухое вещество –   80% .   Обозначив буквой   x   массу сухофруктов, полученных из   1000  килограммов свежих фруктов, запишем имеющиеся данные в следующем виде:

       x       ↔       100%

180       ↔       80%

Для того, чтобы найти неизвестный член пропорции

воспользуемся основным свойством пропорции

ОТВЕТ.   225кг.

ПРИМЕР 13. Свежие грибы содержат   85%   воды, а сухие грибы содержат   10%   воды. Из какого количества свежих грибов получится   4,5  килограмма сухих грибов?

РЕШЕНИЕ. Как свежие, так и сухие грибы, состоят из сухого вещества и воды, причем при высушивании свежих грибов вода частично испаряется (ее масса уменьшается), а масса сухого вещества остается неизменной.

Поскольку сухие грибы содержат   10%   воды, то масса сухого вещества в них составляет   90% .   Поэтому в   4,5  килограммах сухих грибов сухого вещества содержится

(кг).

В свежих грибах вода составляет   85% ,   а сухое вещество –   15% .   Обозначив буквой   x   массу свежих грибов, необходимых для получения   4,5  килограммов сухих грибов, запишем имеющиеся данные в следующем виде:

       x       ↔       100%

4,05       ↔       15%

Для того, чтобы найти неизвестный член пропорции

воспользуемся основным свойством пропорции

ОТВЕТ.   27кг.

ПРИМЕР 14. На сколько процентов изменится площадь прямоугольника, если его длину увеличить на   20% ,   а ширину уменьшить на  10% ?

РЕШЕНИЕ. Если обозначить буквой   a   длину прямоугольника, а буквой   b   – его ширину, то площадь прямоугольника будет вычисляться по формуле

После увеличения длины прямоугольника на   20%   его длина станет равной   1,2a .   После уменьшения ширины прямоугольника на   10%   его ширина станет равной   0,9a .   Таким образом, площадь нового прямоугольника станет равной

Следовательно,   S'   составляет   108%   от   S .

ОТВЕТ. Площадь прямоугольника увеличится на   8% .

Близкие по тематике разделы сайта

Желающие ознакомиться с примерами решения различных задач по теме «Проценты» и применением процентов в экономике и финансовой математике могут посмотреть раздел нашего справочника «Простые и сложные проценты. Предоставление кредитов на основе процентной ставки», а также наши учебные пособия «Задачи на проценты» и «Финансовая математика».

Приемы, используемые для решения задач на смеси, сплавы и растворы, представлены в разделе нашего справочника «Задачи на выполнение работ».

Методы решения задач на смеси, сплавы и растворы, представлены в разделе нашего справочника «Задачи на смеси, сплавы и растворы».

С примерами решения задач на движение можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Задачи на движение».