Справочник по математикеАрифметика Обыкновенные и десятичные дроби

Бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби

Содержание

	Бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби
	Алгоритм обращения бесконечной периодической десятичной дроби в простую дробь

Бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби

В десятичной записи конечной десятичной дроби после запятой стоит конечное число десятичных знаков.

В десятичной записи бесконечной десятичной дроби после запятой стоит бесконечное число десятичных знаков.

Бесконечные десятичные дроби бывают периодическими и непериодическими.

Бесконечной периодической десятичной дробью называют такую дробь, десятичные знаки которой, начиная с некоторого, представляют собой повторение одной и той же группы цифр, состоящей или из одной цифры, отличной от   0   и   9 ,   или из нескольких цифр, причем последовательность цифр при повторении в этой группе не изменяется.

Повторяющаяся группа цифр называется периодом бесконечной периодической десятичной дроби.

Для обозначения периода десятичной дроби используют круглые скобки.

Например,

2,616161… = 2,(61) ;       53222222… = 5,3(2) .

ЗАМЕЧАНИЕ. Еще раз подчеркнем, что период бесконечной десятичной дроби не может состоять из одной или нескольких цифр   0   и не может состоять из одной или нескольких цифр   9 . 

Бесконечная десятичная дробь, не являющаяся периодической, называется непериодической.

Алгоритм обращения бесконечной периодической десятичной дроби в простую дробь

Разберем алгоритм обращения бесконечной периодической десятичной дроби в простую дробь на примере решений следующих задач.

ЗАДАЧА 1. Обратить периодическую дробь

0,(45)

в простую дробь.

РЕШЕНИЕ. Если ввести обозначение

x = 0,(45) = 0,4545… ,

то, умножив это соотношение на   100 ,   получим:

100x = 45,4545… .

При этом

100x – x = 99 x = 45,0000… = 45.

Следовательно,

ОТВЕТ:       .

ЗАДАЧА 2. Обратить периодическую дробь

6,2(7)

в простую дробь.

РЕШЕНИЕ. Если ввести обозначение

x = 6,2(7) = 6,2777… ,

то, умножив это соотношение на   10 , получим:

10x = 62,7777… .

При этом

10x – x = 9x = 62,7777… – 6,2777… = 56,5.

Следовательно,

ОТВЕТ:       .