Справочник по математике
Геометрия (Стереометрия) Цилиндры
Взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве
Рассмотрим плоскость α и цилиндр с осью OO1, радиусом R и высотой h . В данном разделе справочника описываются все возможные ситуации взаимного расположения плоскости и цилиндра в случаях, когда плоскость перпендикулярна оси цилиндра, параллельна оси цилиндра или проходит через ось цилиндра. Все остальные случаи взаимного расположения плоскости и цилиндра выходят за рамки школьной программы и в нашем справочнике не рассматриваются.
Сначала предположим, что плоскость α перпендикулярна к прямой OO1 и пересекает отрезок OO1 в точке O2 . В этом случае сечением цилиндра является круг с центром в точке O2 и радиусом R (рис. 1).
Рис.1
Если плоскость α перпендикулярна к прямой OO1, но не пересекает отрезок OO1 , то цилиндр и плоскость не имеют общих точек (рис. 2).
Рис.2
Теперь рассмотрим случай, когда плоскость α параллельна оси цилиндра OO1 или же проходит через ось OO1 . Если обозначить буквой l расстояние между плоскостью α и прямой OO1 , то можно составить следующую таблицу взаимного расположения цилиндра и плоскости в пространстве в зависимости от величины расстояния l .
| Цилиндр и плоскость не имеют общих точек (не пересекаются) |
|
Свойства: Если ось цилиндра параллельна плоскости, то цилиндр и плоскость не пересекаются тогда и только тогда, когда расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра больше радиуса цилиндра: l > R |
| Цилиндр и плоскость касаются. В этом случае общей частью плоскости и цилиндра является одна из образующих цилиндра (на рисунке это AA1) |
|
Определение Если цилиндр и плоскость касаются, то плоскость называют касательной плоскостью к цилиндру. Свойства: Цилиндр и плоскость касаются тогда и только тогда, когда плоскость параллельна оси цилиндра и расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно радиусу цилиндра l = R Цилиндр и плоскость касаются тогда и только тогда, когда плоскость проходит через образующую цилиндра и перпендикулярна к плоскости, проходящей через эту же образующую и ось цилиндра. |
| Плоскость пересекает цилиндрическую поверхность по двум образующим (на рисунке это AA1 и BB1). Плоскость не проходит через ось цилиндра |
|
Свойства: В этом случае 0 < l < R . Пересечением цилиндра и плоскости является прямоугольник со сторонами AB и AA1 , причем AA1 = h ,
где |
| Плоскость проходит через ось цилиндра |
|
Свойства: В этом случае l = 0 . Пересечением цилиндра и плоскости является прямоугольник со сторонами h и 2R (осевое сечение цилиндра), где |
