Справочник по математикеГеометрия (Стереометрия) Цилиндры

Цилиндры

Содержание

	Основные определения и свойства цилиндра
	Сечения цилиндра
	Объем цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра

Основные определения и свойства цилиндра

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

	Рассмотрим две параллельные плоскости  α   и   β   и произвольную окружность радиуса   r   с центром в точке   O,   лежащую в плоскости   α   (рис. 1). Рис.1 Если из каждой точки окружности опустить перпендикуляр на плоскость   β,   то основания этих перпендикуляров образуют на плоскости   β   окружность радиуса   r,   центр   O1   которой является основанием перпендикуляра, опущенного из точки   O   на плоскость   β   (рис.2). Рис.2 Отрезок перпендикуляра, опущенного из любой точки окружности с центром   O   на плоскость  β ,   который заключен между плоскостями   α   и   β ,   называют образующей цилиндра.
	Совокупность всех образующих цилиндра называют цилиндрической поверхностью.
	Фигуру, ограниченную цилиндрической поверхностью и плоскостями   α   и   β,   называют цилиндром.
	Отрезок   OO1   называют осью цилиндра .
	Радиус окружности на плоскости   α   с центром в точке   O   называют радиусом цилиндра.
	Расстояние между плоскостями   α   и   β ,   называют высотой цилиндра.
	Круги с центрами   O   и   O1   на плоскостях   α   и   β ,   называют основаниями цилиндра.
	Цилиндрическую поверхность часто называют боковой поверхностью цилиндра. Боковая поверхность цилиндра и основания цилиндра вместе составляют полную поверхность цилиндра.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Каждая образующая цилиндра параллельна оси цилиндра, а длина каждой образующей цилиндра равна высоте цилиндра.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Прямая   OO₁   является осью симметрии цилиндра, а середина отрезка   OO₁   является центром симметрии цилиндра.

Сечения цилиндра

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Сечением цилиндра называют пересечение цилиндра с плоскостью.

Если сечение проходит через ось цилиндра, то такое сечение называют осевым сечением цилиндра (рис. 3).

Рис.3

На рисунке 3 изображено одно из осевых сечений цилиндра – прямоугольник   AA₁B₁B .

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Каждое осевое сечение цилиндра с радиусом  r и высотой   h   является прямоугольником со сторонами   2r   и   h .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Перпендикулярным сечением цилиндра называют сечение, перпендикулярное оси цилиндра (рис. 4).

Рис.4

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Любым перпендикулярным сечением цилиндра будет круг радиуса   r .

ЗАМЕЧАНИЕ 5. Более подробно случаи взаимного расположения цилиндра и плоскости рассматриваются в разделе нашего справочника «Взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве».

Объем цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра

Для цилиндра с радиусом   r   и высотой   h   (рис. 5)

Рис.5

введем следующие обозначения

Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности цилиндра:

S_осн = πr²,

V = S_осн h = πr²h,

S_бок= 2πrh,

S_полн = 2πr² + 2πrh = 2π(r + h).

ЗАМЕЧАНИЕ 6. Формула объема цилиндра   V = πr²h   может быть получена из формулы объема правильной n – угольной призмы

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной призмы n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.