Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым. Расстояние между скрещивающимися прямыми

      Теорема. Пусть   p1   и   p2   – две произвольные скрещивающиеся прямые скрещивающиеся прямые. Если рассмотреть всевозможные прямые   A1A2,   такие, что точка   A1   лежит на прямой   p1,   а точка   A2   лежит на прямой   p2,   то будут выполнены следующие два утверждения:

  1. Среди всех прямых   A1A2   существует единственная прямая, перпендикулярная к прямой   p1   и к прямой   p2   (общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым).
  2. Среди всех отрезков   A1A2   наименьшую длину имеет отрезок общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.

      Доказательство. Докажем сначала существование общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым.

      Через произвольную точку прямой   p1   проведем прямую Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, параллельную прямой параллельную прямой   p2 ,   а через произвольную точку прямой   p2   проведем прямую Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, параллельную прямой параллельную прямой   p1 .   Обозначим буквой   α   плоскость, проходящую через прямые   p1   и Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, а буквой   β   плоскость, проходящую через прямые   p2   и Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми(рис 1).

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми

Рис.1

      Поскольку прямая   p1   параллельна прямой Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, лежащей на плоскости   β ,   то по признаку параллельности прямой и плоскости прямая   p1   параллельна плоскости   β.   Точно так же, поскольку прямая Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми параллельна прямой   p2 ,   лежащей на плоскости   β ,   то прямая Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми по признаку параллельности прямой и плоскости параллельна плоскости   β.   Таким образом, плоскость   α   содержит две пересекающиеся прямые   p1   и Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, паралельные плоскости   β.   В силу признака параллельности плоскостей заключаем, что плоскости   α   и   β   параллельны.

      Спроектируем прямую p1 на плоскость   β.   Получим прямую Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, являющуюся проекцией прямой проекцией прямой   p1,   и обозначим точку пересечения прямых   p2   и Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми буквой   B2   (рис. 2).

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми

Рис.2

      Спроектируем теперь прямую   p2   на плоскость   α .   Получим прямую Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми, являющуюся проекцией прямой проекцией прямой   p2 ,   и обозначим точку пересечения прямых   p1   и Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми буквой   B1   (рис. 3).

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми

Рис.3

      Поскольку точка   B2   является проекцией точки   B1 ,   то прямая   B1B2   перпендикулярна каждой из плоскостей   α   и   β .   Следовательно, прямая   B1B2   перпендикулярна и к каждой из прямых   p1   и   p2 .   Таким образом,   B1B2   – общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым   p1   и   p2 .

      Доказательство существования общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым завершено.

      Докажем, что построенная прямая   B1B2   является единственным общим перпендикуляром к прямым   p1   и   p2 .

      Заметим, что любая прямая, перпендикулярная к   p1   и к   p2 ,   по признаку перпендикулярности прямой и плоскости будет перпендикулярна к построенным выше плоскостям   α   и   β   (рис. 3). Кроме того, общий перпендикуляр к прямым   p1   и   p2   должен проходить через точку, лежащую на прямой   p1 ,   а значит, этот перпендикуляр должен лежать в плоскости   γ,   перпендикулярной к плоскостям   α   и   β перпендикуляр должен лежать в плоскости   γ,   перпендикулярной к плоскостям   α   и   β,   и проходящей через прямую   p1 .

      С другой стороны общий перпендикуляр к прямым   p1   и   p2   должен проходить через точку, лежащую на прямой   p2 ,   а значит, этот перпендикуляр должен лежать в плоскости   δ,   перпендикулярной к плоскостям   α   и   β перпендикуляр должен лежать в плоскости   δ,   перпендикулярной к плоскостям   α   и   β,   и проходящей через прямую   p2 .

      Таким образом, общий перпендикуляр к прямым   p1   и   p2   является линией пересечения плоскостей   γ   и   δ,   то есть прямой   B1B2 .

      Доказательство единственности общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым завершено. Утверждение 1 доказано.

      Перейдем к доказательству утверждения 2. Для этого рассмотрим произвольный отрезок   A1A2 , у которого конец   A1   лежит на плоскости   α , а конец   A2   лежит на плоскости   β . Опустим перпендикуляр из точки   A1   на плоскость   β   и обозначим основание этого перпендикуляра символом   A3   (рис. 4).

Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми
Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым расстояние между скрещивающимися прямыми

Рис.4

      Если отрезок   A1A2   не является перпендикуляром к плоскостям   α   и   β,   то точка   A3   не совпадет с точкой   A2,   и треугольник   A1A2A3   будет прямоугольным треугольником с гипотенузой   A1A2   и катетом   A1A3.   Поскольку в прямоугольном треугольнике длина катета меньше длины гипотенузы, то

A1A3 < A1A2 .

      Поскольку длина отрезка   A1A3 , как и длина отрезка   B1B2 ,   равна расстоянию между параллельными плоскостями расстоянию между параллельными плоскостями α и β , то утверждение 2 доказано.

      Замечание. Длину отрезка   B1B2,   лежащего на общем перпендикуляре к двум скрещивающимся прямым, и называют расстоянием между скрещивающимися прямыми расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика