Справочник по математике

Геометрия (Стереометрия)

Конусы

Конусы. Усеченные конусы. Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса

Конусы

Усеченные конусы

Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса

Конусы

      Рассмотрим произвольную плоскость α, точку   S,   не лежащую на плоскости α,   и перпендикуляр   SO,   опущенный из точки   S   на плоскость   α   (точка   O   – основание перпендикуляра). Рассмотрим также произвольный круг с центром в точке   O,   лежащий на плоскости   α.

      Определение 1. Конусом называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точку   S   с точками указанного круга с центром в точке   O,   лежащего на плоскости   α   (рис. 1).

Рис.1

      Определение 2.

	Точку   S   называют вершиной конуса.
	Отрезок   SO   называют осью конуса.
	Расстояние от точки   S   до плоскостиРасстояние от точки   S   до плоскости   α   (длину отрезка   SO)   называют высотой конуса.
	Круг с центром в точке   O,   лежащий на плоскости   α,   называют основанием конуса, радиус этого круга называют радиусом основания конуса, а саму плоскость   α   называют плоскостью основания конуса.
	Отрезки, соединяющие точку   S   с точками окружности называют образующими конуса.
	Совокупность всех образующих конуса составляет боковую поверхность конуса (коническую поверхность).
	Полная поверхность конуса состоит из основания конуса и его боковой поверхности.

      Замечание 1. Отрезок   SO   часто называют высотой конуса.

      Замечание 2. Все образующие конуса имеют одинаковую длину. У конуса с высотой   h   и радиусом основания   r   длина образующих равна

Усеченные конусы

      Рассмотрим конус с вершиной   S,   осью   SO,   радиусом основания   r   и высотой   h.   Плоскость   β,   параллельная параллельная плоскости основания конуса и расположенная на расстоянии   h₁   от вершины расстоянии   h₁   от вершины   S,   пересекает конус по кругу радиуса   r₁   с центром в точке   O₁   (рис. 2).

Рис.2

      Из подобия прямоугольных треугольников   SOA   и   SO₁A₁   можно выразить радиус   r₁   через известные величины   r, h   и   h₁:

      Таким образом, плоскость   β   делит конус на две части: конус с осью   SO₁   и радиусом основания   r₁,   а также вторую часть, называемую усеченным конусом (рис. 3).

Рис.3

      Усеченный конус ограничен двумя основаниями: кругом с центром в точке   O   радиуса   r   на плоскости   α   и кругом с центром в точке   O₁ радиуса   r₁   на плоскости   β,   а также боковой поверхностью усеченного конуса, которая представляет собой часть боковой поверхности исходного конуса, заключенную между плоскостями   α   и   β.   Полная поверхность усеченного конуса состоит из двух оснований усеченного конуса и его боковой поверхности. Часть каждой образующей исходного конуса, которая заключена между плоскостями   α   и   β,   называют образующей усеченного конуса. Например, на рисунке 3 одной из образующих усеченного конуса является отрезок   AA₁.

      Высотой усеченного конуса называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований усеченного конуса. У усеченного конуса, изображенного на рисунке 2, высота равна   h – h₁.

Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса

      Введем следующие обозначения

      Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности конуса, а также формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности усеченного конуса.

Фигура	Рисунок	Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности
Конус		Sосн = πr2, Sбок= πrl, Sполн = πr2 + πrl, где r – радиус основания конуса, l  – длина образующей конуса, h – высота конуса.
Усеченный конус		Sбок= π (r + r1)l , где h – высота усеченного конуса, r – радиус нижнего основания усеченного конуса, r1 – радиус верхнего основания усеченного конуса, l – длина образующей усеченного конуса.

Конус

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: Sосн = πr2, Sбок= πrl, Sполн = πr2 + πrl, где r – радиус основания конуса, l – длина образующей конуса, h – высота конуса.

Усеченный конус

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: , Sбок= π (r + r1)l , где h – высота усеченного конуса, r – радиус нижнего основания усеченного конуса, r1 – радиус верхнего основания усеченного конуса, l – длина образующей усеченного конуса.

      Замечание 3. Формула для вычисления объема конуса

может быть получена из формулы объема правильной n – угольной пирамиды

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

      Замечание 4. Формула для вычисления объема усеченного конуса

может быть получена из формулы объема правильной усеченной n – угольной пирамиды

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной усеченной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.