![]() |
![]() |
![]() |
Рассмотрим произвольную плоскость α, точку S, не лежащую на плоскости α, и перпендикуляр SO, опущенный из точки S на плоскость α (точка O – основание перпендикуляра). Рассмотрим также произвольный круг с центром в точке O, лежащий на плоскости α.
Определение 1. Конусом называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точку S с точками указанного круга с центром в точке O, лежащего на плоскости α (рис. 1).
Рис.1
![]() | Точку S называют вершиной конуса. |
![]() | Отрезок SO называют осью конуса. |
![]() | Расстояние от точки S до плоскостиРасстояние от точки S до плоскости α (длину отрезка SO) называют высотой конуса. |
![]() | Круг с центром в точке O, лежащий на плоскости α, называют основанием конуса, радиус этого круга называют радиусом основания конуса, а саму плоскость α называют плоскостью основания конуса. |
![]() | Отрезки, соединяющие точку S с точками окружности называют образующими конуса. |
![]() | Совокупность всех образующих конуса составляет боковую поверхность конуса (коническую поверхность). |
![]() | Полная поверхность конуса состоит из основания конуса и его боковой поверхности. |
Замечание 1. Отрезок SO часто называют высотой конуса.
Замечание 2. Все образующие конуса имеют одинаковую длину. У конуса с высотой h и радиусом основания r длина образующих равна
Рассмотрим конус с вершиной S, осью SO, радиусом основания r и высотой h. Плоскость β, параллельная параллельная плоскости основания конуса и расположенная на расстоянии h1 от вершины расстоянии h1 от вершины S, пересекает конус по кругу радиуса r1 с центром в точке O1 (рис. 2).
Рис.2
Из подобия прямоугольных треугольников SOA и SO1A1 можно выразить радиус r1 через известные величины r, h и h1:
Таким образом, плоскость β делит конус на две части: конус с осью SO1 и радиусом основания r1, а также вторую часть, называемую усеченным конусом (рис. 3).
Рис.3
Усеченный конус ограничен двумя основаниями: кругом с центром в точке O радиуса r на плоскости α и кругом с центром в точке O1 радиуса r1 на плоскости β, а также боковой поверхностью усеченного конуса, которая представляет собой часть боковой поверхности исходного конуса, заключенную между плоскостями α и β. Полная поверхность усеченного конуса состоит из двух оснований усеченного конуса и его боковой поверхности. Часть каждой образующей исходного конуса, которая заключена между плоскостями α и β, называют образующей усеченного конуса. Например, на рисунке 3 одной из образующих усеченного конуса является отрезок AA1.
Высотой усеченного конуса называют расстояние между плоскостями расстояние между плоскостями оснований усеченного конуса. У усеченного конуса, изображенного на рисунке 2, высота равна h – h1.
Введем следующие обозначения
V | объем конуса (объем усеченного конуса) |
Sбок | площадь боковой поверхности конуса (площадь боковой поверхности усеченного конуса) |
Sполн | площадь полной поверхности конуса (площадь полной поверхности усеченного конуса) |
Sосн | площадь основания конуса |
Sверх.осн | площадь верхнего основания усеченного конуса |
Sнижн.осн | площадь нижнего основания усеченного конуса |
V объем конуса (объем усеченного конуса) |
Sбок площадь боковой поверхности конуса |
Sполн площадь полной поверхности конуса |
Sосн площадь основания конуса |
Sверх.осн площадь верхнего основания усеченного конуса |
Sнижн.осн площадь нижнего основания усеченного конуса |
Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности конуса, а также формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности усеченного конуса.
Фигура | Рисунок | Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности |
Конус | ![]() | Sосн = πr2, Sбок= πrl, Sполн = πr2 + πrl, где |
Усеченный конус | ![]() | Sбок= π (r + r1)l , где l – длина образующей усеченного конуса. |
Конус |
![]() ![]() Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: Sосн = πr2, Sбок= πrl, Sполн = πr2 + πrl, где |
Усеченный конус |
![]() ![]() Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: ![]() ![]()
Sбок= π (r + r1)l , где l – длина образующей усеченного конуса. |
Замечание 3. Формула для вычисления объема конуса
может быть получена из формулы объема правильной n – угольной пирамиды
при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.
Замечание 4. Формула для вычисления объема усеченного конуса
может быть получена из формулы объема правильной усеченной n – угольной пирамиды
при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной усеченной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |