Пропорции, члены пропорции, основное свойство пропорции

пропорции члены пропорции основное свойство пропорцииПропорции, члены пропорции. Основное свойство пропорции
производные пропорцииПроизводные пропорции
свойства равных отношенийСвойства равных отношений
Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений

Пропорции, члены пропорции. Основное свойство пропорции

      Частное от деления числа   a   на число   b   называют отношением числа   a   к числу   b.

      Число   a   называют предыдущим членом отношения, число   b   – последующим членом отношения.

      Пропорцией называют равенство двух отношений:

Электронный справочник по математике для школьников пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений.

      Иногда пропорцию записывают так:

a : b = c : d .

      И в одной, и во второй формах записи пропорции числа   a   и   d   называют крайними членами пропорции, а числа   b   и   c   – средними членами пропорции.

      Для любой пропорции справедливо следующее равенство, которое называют основным свойством пропорции:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений

      Словесно это равенство можно сформулировать так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции.

      Для того, чтобы доказать основное свойство пропорции, умножим пропорцию на выражение   Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений.

      В результате получим:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений
Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений

что и требовалось доказать.

      Основное свойство пропорции позволяет по трем любым известным членам пропорции найти четвертый неизвестный член пропорции. Покажем это на двух примерах.

      Пример 1. Найти неизвестный член пропорции   x ,   если

Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений

      Решение. Воспользовавшись основным свойством пропорции, получаем:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений
Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений

      Ответ:   3,15 .

      Пример 2. Найти неизвестный член пропорции   x ,   если

Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений

      Решение. Воспользовавшись основным свойством пропорции, получаем:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений
Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений

      Ответ: Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений .

      Из основного свойства пропорции легко вытекают также свойства пропорции, которые называют перестановкой членов пропорции. Эти свойства формулируются так: если

Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений.

то

Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений
Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений

Производные пропорции

      Справедливы также свойства пропорции, которые называют производными пропорциями. Эти свойства формулируются так: если

Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений,

то

Справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношенийЭлектронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений,
Справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношенийЭлектронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений,
Справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношенийЭлектронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений,
Справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношенийЭлектронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений,
Справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношенийЭлектронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений,
Справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений
Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений.
Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений

      В качестве примера докажем первое из указанных свойств (остальные свойства доказываются аналогично). Для этого к обеим частям пропорции

Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений.

достаточно прибавить 1. В результате получаем,

Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений
Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений

что и требовалось.

      Замечание. Последнее из свойств пропорций является наиболее общим и может быть доказано, например, с помощью основного свойства пропорции.

Свойства равных отношений

      Если выполнено соотношение

Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений

то выполнено и соотношение

Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений
Электронный справочник по математике для школьников арифметика пропорции основное свойство пропорции производные пропорции свойства равных отношений

где

k1 ,  k2 , … kn

– произвольные числа, которые не могут все одновременно равняться нулю.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд



Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»




НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика