Mосква, Северо-восток

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
Признаки параллельности двух плоскостей

Справочник по математике для школьников геометрия стереометрия признаки параллельности плоскостейПризнаки параллельности плоскостей

      Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или могут пересекаться, как показано в следующей таблице.

ФигураРисунокОпределение
Две пересекающиеся плоскостиПересекающиеся плоскостиДве плоскости называют пересекающимися, если они не совпадают, и у них есть общие точки. В случае, когда две плоскости пересекаются, пересечением этих плоскостей является прямая линия.
Две параллельные плоскостиПараллельные плоскостиДве плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек.
Две пересекающиеся плоскости
Пересекающиеся плоскости
Пересекающиеся плоскости

Определение:
Две плоскости называют пересекающимися, если они не совпадают, и у них есть общие точки. В случае, когда две плоскости пересекаются, пересечением этих плоскостей является прямая линия.

Две параллельные плоскости
Параллельные плоскости
Параллельные плоскости

Определение:
Две плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек.

Признаки параллельности двух плоскостей

      Первый признак параллельности двух плоскостей. Если две пересекающиеся прямые пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены плоскости  α  и   β

Признак параллельности плоскостей
Признак параллельности плоскостей

Рис.1

      Прямые a и b лежат в плоскости  α  и пересекаются в точке K. Прямые c и d лежат в плоскости  β  и параллельны прямым a и b соответственно.

      Будем доказывать первый признак параллельности двух плоскостей методом «от противного». Для этого предположим, что плоскости  α  и   β  не параллельны. Следовательно, плоскости  α  и   β  должны пересекаться, причём пересекаться по некоторой прямой. Обозначим прямую линию, по которой пересекаются плоскости  α  и   β  буквой l (рис.2) и воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости.

Признак параллельности плоскостей
Признак параллельности плоскостей
Признак параллельности плоскостей

Рис.2

      Плоскость  α  проходит через прямую a, параллельную прямой c, и пересекает плоскость   β  по прямой l. Отсюда, в силу признака параллельности прямой и плоскости, заключаем, что прямые a и l параллельны. В то же время плоскость  α  проходит через прямую b, параллельную прямой d, и пересекает плоскость  β  по прямой l. Отсюда, в силу признака параллельности прямой и плоскости, заключаем, что прямые b и l параллельны. Таким образом, мы получили, что на плоскости  α  через точку K проходят две прямые, а именно, прямые a и b, которые параллельны прямой l. Полученное противоречие с аксиомой о параллельных прямых аксиомой о параллельных прямых даёт возможность утверждать, что предположение о том, что плоскости  α  и   β  пересекаются, является неверным. Доказательство первого признака параллельности двух плоскостей завершено.

      Второй признак параллельности двух плоскостей. Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 3, на котором изображены плоскости  α  и   β.

Признак параллельности плоскостей
Признак параллельности плоскостей

Рис.3

      На этом рисунке также изображены прямые a и b, которые лежат в плоскости  α  и пересекаются в точке K. По условию каждая из прямых a и b параллельна плоскости  β. Требуется доказать, что плоскости  α  и   β  параллельны.

      Доказательство этого утверждения аналогично доказательству первого признака параллельности двух плоскостей, и мы  его оставляем читателю в качестве полезного упражнения.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве пересекающиеся плоскости параллельные плоскости признаки параллельности плоскостейкурсы подготовки к ЕГЭ для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве пересекающиеся плоскости параллельные плоскости признаки параллельности плоскостейиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика