Понятие о вещественных (действительных) числах, рациональные и иррациональные числа

Содержание

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числаРациональные и иррациональные числа. Понятие о вещественных числах
Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные действительные числа иррациональные числаИррациональность числа  Справочник по математике для школьников арифметика вещественные действительные числа
 вещественные действительные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избыткомДесятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком
Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком

Рациональные и иррациональные числа. Понятие о вещественных числах

Целые числа и рациональные дроби (простые дроби и смешанные числа) составляют множество рациональных чисел, которое принято обозначать буквой   Q .

Каждое из рациональных чисел можно представить в виде

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа,

где   m   – целое число, а   n   – натуральное число.

При обращении рациональных дробей в десятичные дроби получаются конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.

Числа

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа

и т.п. являются примерами иррациональных чисел.

Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель натуральным числом.

При обращении иррациональных чисел в десятичные дроби получаются бесконечные непериодические десятичные дроби. Множество иррациональных чисел бесконечно.

Множество рациональных и иррациональных чисел составляют множество вещественных (действительных) чисел.

Множество вещественных чисел обозначают буквой   R .  

Иррациональность числа Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа

Проведем доказательство иррациональности числа Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа методом «от противного». С этой целью предположим, что число Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа является рациональным числом. Тогда существует дробь вида

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа,

удовлетворяющая равенству

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа

и такая, у которой числитель и знаменатель являются натуральными числами, не имеющими простых общих делителей.

Используя данное равенство, получаем:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа

Отсюда вытекает, что число   m2 является четным числом, а, значит, и число   m   является четным числом. Действительно, если мы предположим противное, т.е. предположим, что число   m   является нечетным числом, то найдется такое целое число   k ,   которое удовлетворяет соотношению

m = 2k + 1 .

Следовательно,

m2 = (2k + 1)2 =
=
4k2 + 4k +1 ,

т.е.   m   является нечетным числом. Полученное противоречие доказывает, что число   m   является четным числом. Значит, найдется такое целое число   k ,  которое удовлетворяет соотношению

m = 2k .

      Поэтому,

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа

Отсюда вытекает, что число   n2 является четным, а, значит, и число   n   является четным числом.

Итак, число   m   является четным, и число   n   является четным, значит, число   2   является общим делителем числителя и знаменателя дроби

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа.

Полученное противоречие доказывает, что несократимой дроби, удовлетворяющей соотношению

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа

не существует. Следовательно, число Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа является иррациональным числом, что и требовалось доказать.

Десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком

Разберем понятие десятичных приближений иррациональных чисел с недостатком и с избытком на конкретном примере. Для этого рассмотрим иррациональное число

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком

Это число, как и любое другое иррациональное число, изображается бесконечной непериодической  десятичной дробью.

Последовательностью десятичных приближений числа Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком с недостатком называют последовательность конечных десятичных дробей, которая получится, если у числа Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа отбросить все десятичные знаки, начиная, сначала с первого десятичного знака, затем со второго десятичного знака, потом с третьего десятичного знака и т.д.

Если последний десятичный знак каждого десятичного приближения числа с недостатком увеличить на   1 ,   то получится десятичное приближение числа с избытком.

Само число Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком располагается между каждым своим приближением с недостатком и соответствующим ему приближением с избытком.

Для числа Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком возникающая бесконечная последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком, имеет следующий вид:

Электронный справочник по математике для школьников арифметика вещественные числа рациональные и иррациональные числа десятичные приближения иррациональных чисел с недостатком и с избытком

и т.д.

Точно также можно построить последовательность десятичных приближений с недостатком и с избытком для любого иррационального числа.

Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Наши учебные пособия для школьников

При подготовке к ЕГЭ и к ОГЭ по математике Вам могут также пригодиться наши учебные пособия.