Справочник по математикеТригонометрия

Свойства тригонометрических функций

Содержание

	Знаки тригонометрических функций
	Периодичность тригонометрических функций
	Четность тригонометрических функций

Знаки тригонометрических функций

Знаки чисел

sin α ,   cos α ,   tg α ,   ctg α

определяются тем, в каком квадранте (четверти) координатной плоскости   Oxy   лежит луч   OM   (рисунки 1, 2, 3, 4).

Периодичность тригонометрических функций. Полупериодичность синуса и косинуса

Рассмотрим рисунок 5.

Рис.5

Если луч OM₁, изображенный на рисунке 5, повернуть по ходу или против хода часов на полный угол (360 градусов или 2π радиан), то он совместится с самим собой. Следовательно, справедливы формулы:

sin (α° + 360°) = sin α°,   cos (α° + 360°) = cos α°,

sin (α° – 360°) = sin α°,   cos (α° – 360°) = cos α°,

а также формулы:

sin (α + 2π) = sin α ,   cos (α + 2π) = cos α ,

sin (α – 2π) = sin α,   cos (α – 2π) = cos α .

Поворачивая луч  OM₁ на полный угол по ходу или против хода часов n раз ( 360n градусов или 2nπ радиан), получаем следующие формулы:

Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, периодами синуса и косинуса являются углы   360° n, .

В случае, когда углы измеряются в радианах, периодами синуса и косинуса являются числа   2nπ, .

В случае, когда углы измеряются в градусах, наименьшим положительным периодом синуса и косинуса является угол 360°.

В случае, когда углы измеряются в радианах, наименьшим положительным периодом синуса и косинуса является число 2π .

Теперь рассмотрим рисунок 6.

Рис.6

Если луч OM₁, изображенный на рисунке 6, повернуть по ходу или против хода часов на развернутый угол (180 градусов или π радиан), то он совместится с лучом OM₂ . Следовательно, справедливы формулы:

sin (α° + 180°) = – sin α°,   cos (α° + 180°) = – cos α°,

sin (α° – 180°) = – sin α°,   cos (α° – 180°) = – cos α°,

а также формулы:

sin (α + π) = – sin α ,   cos (α + π) = – cos α ,

sin (α – π) = – sin α,   cos (α – π) = – cos α.

Полученные формулы описывают свойство полупериодичности синуса и косинуса.

Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, угол 180° является полупериодом синуса и косинуса.

В случае, когда углы измеряются в радианах, полупериодом синуса и косинуса является число π.

СЛЕДСТВИЕ. Поскольку

то справедливы формулы:

Таким образом, в случае, когда углы измеряются в градусах, периодами тангенса и котангенса являются углы 180° n,

В случае, когда углы измеряются в радианах, периодами тангенса и котангенса являются числа   nπ, .

В случае, когда углы измеряются в градусах, наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса является угол 180°.

В случае, когда углы измеряются в радианах, наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса являются число π.

Четность тригонометрических функций

Рассмотрим рисунок 7.

Рис.7

На этом рисунке

Следовательно, справедливы формулы:

sin ( – α ) = – sin α ,   cos ( – α ) = cos α ,

откуда вытекают формулы:

tg ( – α ) = – tg α ,   ctg ( – α ) = – ctg α .

Таким образом, косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.