Справочник по математике
Элементы математического анализа Производная функции
Секущая графика функции. Касательная к графику функции. Производная функции. Геометрический смысл производной
Содержание
 |
Секущая графика функции. Уравнение секущей графика функции |
|
Касательная к графику функции |
|
Производная функции |
|
Уравнение касательной к графику функции |
|
Геометрический смысл производной |
Секущая графика функции. Уравнение секущей графика функции
Рассмотрим график некоторой функции y = f (x), точки A= (x0; f (x0)) и B = (x1; f (x1)) на графике, прямую, проходящую через точки A и B, и произвольную точку C = (x; y) на этой прямой (рис. 1).
Рис.1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Прямую, проходящую через две произвольные точки графика функции, называют секущей графика функции.
В соответствии с определением 1 прямая, проходящая через точки A и B графика функции y = f (x), является секущей этого графика.
Выведем уравнение секущей графика функции.
Для этого рассмотрим векторы 
и 
, координаты которых имеют вид:
Поскольку векторы и лежат на одной прямой, то справедливо равенство
 |
(1) |
где k – некоторое число.
Переписывая равенство (1) в координатах, получим систему (2):
 |
(2) |
Исключая из системы (2) переменную k , получим систему (3):
 |
(3) |
второе уравнение которой можно записать в следующем виде
 |
(4) |
Уравнение (4) и является уравнением секущей графика функции y = f (x), проходящей через точки A = (x0; f (x0)) и B = (x1; f (x1)) этого графика.
Касательная к графику функции
Проведем секущую графика функции y = f (x), проходящую через точки A и B этого графика, и рассмотрим случай, когда точка A неподвижна, а точка B неограниченно приближается к точке A по графику функции y = f (x) (рис. 2).
Рис.2
Неограниченное приближение точки B к точке A принято обозначать
B → A
и произносить «B стремится к A».
Заметим, что, если B → A для точек A = (x0; f (x0)) и B = (x1; f (x1)) графика функции y = f (x), то это означает, что x1 → x0 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Если при x1 → x0 существует предельное положение секущей графика функции y = f (x), то это предельное положение секущей называют касательной к графику функции y = f (x) в точке A = (x0; f (x0)) (рис. 3) .
Рис.3
Производная функции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если при x1 → x0 отношение
 |
(5) |
входящее в формулу (4), стремится к некоторому числу, то это число называют производной функции y = f (x) в точке x0 , обозначают f ′(x0) или
и записывают так:
 |
(6) |
Уравнение касательной к графику функции
Из формул (4) и (6) вытекает следующее
УТВЕРЖДЕНИЕ. Если у функции y = f (x) существует производная в точке x0 , то к графику функции y = f (x) в точке с координатами (x0; f (x0)) можно провести касательную, а уравнение этой касательной имеет вид:
| y = f′(x0) (x – x0) + f (x0) | (7) |
Геометрический смысл производной
Рассмотрим сначала возрастающую функцию y = f (x) и проведем секущую графика этой функции, проходящую через точки A = (x0; f (x0)) и B = (x1; f (x1)) (рис. 4).
Рис.4
Обозначим буквой φ угол, образованный секущей и положительным направлением оси Ox, отсчитываемый против часовой стрелки. Тогда угол BAD в треугольнике ABD на рисунке 4 равен φ , и по определению тангенса угла получаем равенство
 |
(8) |
причем по определению углового коэффициента прямой tg φ является угловым коэффициентом секущей графика функции y = f (x), проходящей через точки A = (x0; f (x0)) и B = (x1; f (x1)) этого графика.
Случай, когда функция y = f (x) убывает, изображен на рисунке 5
Рис.5
В этом случае угол φ является тупым, причем
то есть формула (8) справедлива и для случая, когда функция y = f (x) убывает.
Отсюда в соответствии с определением производной функции вытекает соотношение:
где буквой α обозначен угол, образованный касательной к графику функции y = f (x) в точке A = (x0; f (x0)) с положительным направлением оси Ox (рис. 6).
Рис.6
Таким образом, если у функции y = f (x) в точке x0 существует производная, то эта производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции y = f (x) в точке (x0; f (x0)) :
f′(x0) = tg α ,
где угол наклона α образован касательной и положительным направлением оси Ox и отсчитывается в положительном направлении (то есть против часовой стрелки).
Близкие по тематике разделы сайта
С материалами, связанными с дифференцированием функций и применением производных к исследованию поведения функций, можно также ознакомиться в учебном пособии «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»
Исследование функций с помощью производных и примеры построения графиков функций можно посмотреть в учебных пособиях:
- «Исследование функций с помощью производных. Построение графиков (часть 1)»
- «Исследование функций с помощью производных. Построение графиков (часть 2)»
на странице «Учебные материалы по математическому анализу для студентов МФТИ (1 курс, 1 семестр)».