Понятие функции. Область определения функции. Множество значений функции

Содержание

понятие функции область определения функции множество значений функции аргумент функции значение функцииПонятие функции. Область определения функции. Множество значений функции
область определения функции множество значений функции примеры решения задачПримеры решения задач
Элементы математического анализа понятие функции область определения функции множество значений функции аргумент функции значение функции примеры решения задач

Понятие функции. Область определения функции. Множество значений функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть   X   – некоторое множество чисел. Говорят, что на множестве   X   задана числовая функция,  если указано правило, с помощью которого каждому числу   x   из множества   X   ставится в соответствие некоторое число.

Это принято обозначать так:

y = f (x),

причем в этой записи   x   называют аргументом функции  или независимой переменной, а   y   называют значением функции,  соответствующим аргументу   x .

Множество   X   называют областью определения функции   f   и обозначают   D ( f ) .   Множество   Y   всех возможных значений функции   y = f (x)   называют множеством значений функции   f   и обозначают   E ( f )   (рис. 1).

понятие функции область определения функции множество значений функции аргумент функции значение функции
понятие функции область определения функции множество значений функции аргумент функции значение функции
понятие функции область определения функции множество значений функции аргумент функции значение функции

Рис.1

Примеры решения задач

Часто в задачах известна формула, задающая функцию   f ,   и требуется найти наиболее широкое множество чисел, к которым данную формулу можно применить. В этом случае указанная задача формулируется так: «Найти область определения функции   y = f (x)». В некоторых задачах требуется найти не только область определения функции, но и множество ее значений.

ЗАДАЧА 1. Найти область определения функции

область определения функции множество значений функции примеры решения задач

РЕШЕНИЕ. Указанная функцию представляет собой результат, полученный при делении числа   x4   на число   (3 + x) .   Поскольку единственным ограничением является запрет деления на число   0 ,   то число   (3 + x)   не может равняться   0 ,   то есть   область определения функции множество значений функции примеры решения задач.

      ОТВЕТ.   область определения функции множество значений функции примеры решения задач.

ЗАДАЧА 2. Найти область определения функции

область определения функции множество значений функции примеры решения задач

РЕШЕНИЕ. Поскольку квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел, то область определения данной функции задается неравенством

область определения функции множество значений функции примеры решения задач

которое эквивалентно неравенству

область определения функции множество значений функции примеры решения задач

и может быть записано в виде

область определения функции множество значений функции примеры решения задач.

Решая это неравенство с помощью метода интервалов, получим

область определения функции множество значений функции примеры решения задач
область определения функции множество значений функции примеры решения задач
область определения функции множество значений функции примеры решения задач

ОТВЕТ.   область определения функции множество значений функции примеры решения задач.

ЗАДАЧА 3. Найти область определения функции

область определения функции множество значений функции примеры решения задач

РЕШЕНИЕ. Исходя из определений логарифма и квадратного корня, область определения данной функции задается следующей системой неравенств

область определения функции множество значений функции примеры решения задач(1)

Решая второе неравенство системы с помощью метода интервалов,

область определения функции множество значений функции примеры решения задач
область определения функции множество значений функции примеры решения задач
область определения функции множество значений функции примеры решения задач

получим

область определения функции множество значений функции примеры решения задач

Таким образом, система (1) эквивалентна системе

область определения функции множество значений функции примеры решения задач

Решением этой системы является интервал

область определения функции множество значений функции примеры решения задач

ОТВЕТ. область определения функции множество значений функции примеры решения задач.

ЗАДАЧА 4 . Найти множество значений функции

y = 3sin x + 4cos x

РЕШЕНИЕ. Воспользовавшись формулой дополнительного угла (вспомогательного аргумента), получим

y = 5 sin (x + φ) ,

где

область определения функции множество значений функции примеры решения задач

Поскольку множеством значений функции   y = sin (+ φ)   является отрезок   [–1, 1],   то множеством значений функции   y = 5 sin (x +φ)   будет отрезок   [–5, 5].

ОТВЕТ. область определения функции множество значений функции примеры решения задач.

ЗАДАЧА 5 . Найти множество значений функции

y = x2 + 6x + 8

РЕШЕНИЕ. Поскольку

область определения функции множество значений функции примеры решения задач
область определения функции множество значений функции примеры решения задач

и для каждого числа область определения функции множество значений функции примеры решения задач существуют решения уравнения

x2 + 6x + 8 = y ,

определяемые формулой

область определения функции множество значений функции примеры решения задач

то множеством значений функции   y = x2 + 6x + 8   будет множество   область определения функции множество значений функции примеры решения задач .

ОТВЕТ. область определения функции множество значений функции примеры решения задач.

Демонстрационные варианты ЕГЭ и ОГЭ

С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ по всем предметам, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Наши учебные пособия для школьников

При подготовке к ЕГЭ и к ОГЭ по математике Вам могут также пригодиться наши учебные пособия.