Степень с целочисленным показателем и арифметический корень

Справочник по математике для школьников алгебра степень с целочисленным показателемСтепень с целочисленным показателем
Справочник по математике для школьников алгебра арифметический кореньАрифметический корень
Справочник по математике для школьников алгебра избавление от иррациональностей в знаменателе дробиИзбавление от иррациональностей в знаменателе дроби
Степень с целочисленным показателем арифметический корень квадратный корень определение примеры избавление от иррациональностей в знаменателе

Степень с целочисленным показателем

      Понятие степени с целочисленным показателем включает в себя три определения.

      Определение. Пусть   n   – произвольное натуральное число, а   a   – произвольное действительное число. Тогда   n – ой степенью числа   a   называют произведение   n   сомножителей, равных   a :

Степень с целочисленным показателем арифметический корень квадратный корень определение примеры избавление от иррациональностей в знаменателе

      Число   a   называют основанием степени, а число   n   – показателем степени.

      Определение. Пусть   a   – произвольное действительное число, отличное от   0 . Тогда, по определению:

a0 = 1 .

      Число a называют основанием степени, а число   0   – показателем степени.

      Определение. Пусть   n   – произвольное натуральное число, а   a   – произвольное действительное число, отличное от   0 . Тогда, по определению:

Степень с целочисленным показателем арифметический корень квадратный корень определение примеры избавление от иррациональностей в знаменателе

      Число   a   называют основанием степени, а число   (– n)   – показателем степени.

      Таким образом, степень с целочисленным показателем определена.

      Пример 1.

Степень с целочисленным показателем арифметический корень квадратный корень определение примеры избавление от иррациональностей в знаменателе

      Замечание 1. Число нуль нельзя возвести в нулевую степень и нельзя возвести в отрицательную степень.

Арифметический корень

      Пусть   n   – произвольное натуральное число, а   a   – произвольное положительное число.

      Определение. Число   x   называют арифметическим корнем   n – ой степени из числа   a ,   если, во-первых, число   x   положительное, а, во-вторых, является решением уравнения

xn = a .

      В этом случае при   Степень с целочисленным показателем арифметический корень квадратный корень определение примеры избавление от иррациональностей в знаменателе   для арифметического корня используется обозначение:

Степень с целочисленным показателем арифметический корень квадратный корень определение примеры избавление от иррациональностей в знаменателе

или эквивалентное обозначение:

Степень с целочисленным показателем арифметический корень квадратный корень определение примеры избавление от иррациональностей в знаменателе

      Если же   n = 2,   то для арифметического квадратного корня используется обозначение:

Степень с целочисленным показателем арифметический корень квадратный корень определение примеры избавление от иррациональностей в знаменателе

или эквивалентное обозначение:

Степень с целочисленным показателем арифметический корень квадратный корень определение примеры избавление от иррациональностей в знаменателе

      Замечание 2. В курсах математики, выходящих за рамки средней школы, доказывается, что арифметический корень всегда существует, причем только один.

      Замечание 3. Очень важно помнить о том, что в формуле

Степень с целочисленным показателем арифметический корень квадратный корень определение примеры избавление от иррациональностей в знаменателе

содержится ошибка, за которую мгновенно следует безжалостная кара на экзаменах.

      Пример 2. Решить уравнение

x2 = 25 .

      Решение. Это уравнение имеет два корня:

x1 = 5       и       x2 = – 5 .

      Корень уравнения   x1 = 5   является арифметическим квадратным корнем из числа 25, а корень уравнения     x2 = – 5     является числом, противоположным к арифметическому квадратному корню из числа 25.

      Пример 3. Решить уравнение

x3 = – 27 .

      Решение. Это уравнение имеет единственный вещественный корень   x = – 3,   но это число не является арифметическим кубическим корнем из числа   (– 27), так как у отрицательных чисел не бывает арифметических корней. Число   x = – 3   является числом, противоположным к арифметическому кубическому корню из числа   27.   Поэтому

Степень с целочисленным показателем арифметический корень квадратный корень определение примеры избавление от иррациональностей в знаменателе

      Замечание 4. Желающие могут ознакомиться с нашей презентацией «Степень с рациональным показателем», содержание которой связано с данным разделом.

Избавление от иррациональностей в знаменателе дроби

      В некоторых задачах требуется перейти от дроби к равной ей дроби, но такой, у которой в знаменателе нет корней (иррациональностей). Эта операция носит название «избавление от иррациональностей в знаменателе дроби» и осуществляется при помощи умножения числителя и знаменателя дроби на подходящее число. Часто это число находится с помощью формул сокращенного умножения. Покажем это на примере.

      Пример 4. Преобразовать дробь

Степень с целочисленным показателем арифметический корень квадратный корень определение примеры избавление от иррациональностей в знаменателе

к такому виду, чтобы в знаменателе не было иррациональностей.

      Решение. Воспользовавшись формулой сокращенного умножения «Разность квадратов», совершим следующие эквивалентные преобразования:

Степень с целочисленным показателем арифметический корень квадратный корень определение примеры избавление от иррациональностей в знаменателе
Степень с целочисленным показателем арифметический корень квадратный корень определение примеры избавление от иррациональностей в знаменателе
Степень с целочисленным показателем арифметический корень квадратный корень определение примеры избавление от иррациональностей в знаменателе
Степень с целочисленным показателем арифметический корень квадратный корень определение примеры избавление от иррациональностей в знаменателе

      Мы получили дробь, у которой в знаменателе иррациональностей нет, что и требовалось.

      С понятием степени с рациональным показателем и свойствами степеней можно ознакомиться в разделе «Степень с рациональным показателем» нашего справочника.

      Графики степенных и показательных функций представлены в разделе «Графики степенных, показательных и логарифмических функций» нашего справочника.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На сайте можно также ознакомиться с нашимиучебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ОГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия

НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика