Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари
Схема метода Феррари
Целью данного раздела является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени
 |
(1) |
где 
- произвольные вещественные числа, причем 
Метод Феррари состоит из двух этапов.
На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.
На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.
Приведение уравнений 4-ой степени
Разделим уравнение (1) на старший коэффициент 
. Тогда оно примет вид
 |
(2) |
где 
- произвольные вещественные числа.
Сделаем в уравнении (2) замену
 |
(3) |
где 
- новая переменная.
Тогда, поскольку
то уравнение (2) принимает вид
 |
(4) |
Если ввести обозначения
то уравнение (4) примет вид
 |
(5) |
где 
- вещественные числа.
Первый этап метода Феррари завершён.
Разложение на множители. Кубическая резольвента
Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение
где 
- некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим
Следовательно, уравнение (5) принимает вид
 |
(6) |
Если теперь выбрать число так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения
 |
(7) |
то уравнение (6) примет вид
 |
(8) |
Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде
или, раскрыв скобки, - в виде
 |
(9) |
Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).
Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».
Действительно,
Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение
 |
(10) |
а также квадратное уравнение
 |
(11) |
Вывод метода Феррари завершен.
Пример решения уравнения 4-ой степени
Пример. Решить уравнение
 |
(12) |
Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену
 |
(13) |
Поскольку
то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид
 |
(14) |
В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства
 |
(15) |
В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение
которое при сокращении на 2 принимает вид:
 |
(16) |
Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число
 |
(17) |
Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение
корни которого имеют вид:
 |
(18) |
Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение
корни которого имеют вид:
 |
(19) |
В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):
Ответ. 
Замечание. При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:
 |
(19) |
Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика "проблемными".
Запись по телефону (495) 509-28-10. |
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике.
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ГИА по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента"
проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"
