Решение кубических уравнений. Формула Кардано
Схема метода Кардано
Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени (кубических уравнений)
 |
(1) |
где 
- произвольные вещественные числа, 
Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.
На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями.
На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.
Приведение кубических уравнений к трехчленному виду
Разделим уравнение (1) на старший коэффициент 
. Тогда оно примет вид
 |
(2) |
где 
- произвольные вещественные числа.
Заменим в уравнении (2) переменную 
на новую переменную 
по формуле:
 |
(3) |
Тогда, поскольку
то уравнение (2) примет вид
 |
(4) |
Если ввести обозначения
то уравнение (4) примет вид
 |
(5) |
где 
- вещественные числа.
Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.
Первый этап вывода формулы Кардано завершён.
Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям
Будем искать решение уравнения (5) в виде
 |
(6) |
где 
- новая переменная.
Поскольку
то выполнено равенство:
Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде
 |
(7) |
Если теперь уравнение (7) умножить на 
, то мы получим квадратное уравнение относительно :
 |
(8) |
Формула Кардано
Решение уравнения (8) имеет вид:
Следовательно,
В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:
 |
(9) |
В развернутой форме эти решения записываются так:
 |
(10) |
 |
(11) |
Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.
Действительно,
С другой стороны,
Таким образом,
и для решения уравнения (5) мы получили формулу
 |
(12) |
которая и называется «Формула Кардано».
Замечание. Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).
Пример решения кубического уравнения
Пример. Решить уравнение
 |
(13) |
Решение. Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену
 |
(14) |
Тогда получим
Следовательно, уравнение (13) принимает вид
 |
(15) |
Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену
 |
(16) |
Тогда поскольку
то уравнение (15) примет вид
 |
(17) |
Далее из (17) получаем:
Отсюда по формуле (16) получаем:
 |
(18) |
Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу
или использовали формулу
Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:
Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень
Замечание 1. У уравнения (13) других вещественных корней нет.
Замечание 2. Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня. Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика "проблемными".
Запись по телефону (495) 509-28-10. |
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике.
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ГИА по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента"
проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"
