Mосква, Северо-восток

Решение кубических уравнений. Формула Кардано

Справочник по математике для школьников алгебра схема метода КарданоСхема метода Кардано
Справочник по математике для школьников алгебра приведение кубических уравнений к трехчленному видуПриведение кубических уравнений к трехчленному виду
Справочник по математике для школьников алгебра сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениямСведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи
Справочник по математике для школьников алгебра формула КарданоФормула Кардано
Справочник по математике для школьников алгебра пример решения кубического уравненияПример решения кубического уравнения
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

Схема метода Кардано

      Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени (кубических уравнений)

a0x3 + a1x2 +
+
a2x + a3= 0,
(1)

где a0, a1, a2, a3произвольные вещественные числа, Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

      На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями.

      На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

x3 + ax2 + bx + c = 0,(2)

где a, b, c – произвольные вещественные числа.

      Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано(3)

      Тогда, поскольку

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

то уравнение (2) примет вид

В результате уравнение (2) примет вид

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
(4)

      Если ввести обозначения

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

то уравнение (4) примет вид

y3 + py + q= 0,(5)

где p, q – вещественные числа.

      Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.

      Первый этап вывода формулы Кардано завершён.

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

      Следуя методу, примененому Никколо Тартальей (1499-1557) для решения трехчленных кубических уравнений, будем искать решение уравнения (5) в виде

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано(6)

где   t   – новая переменная.

      Поскольку

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

то выполнено равенство:

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано(7)

      Если теперь уравнение (7) умножить на   t,   то мы получим квадратное уравнение относительно   t :

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано(8)

Формула Кардано

      Решение уравнения (8) имеет вид:

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
(9)

      В развернутой форме эти решения записываются так:

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
(10)
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
(11)

      Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.

      Действительно,

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      С другой стороны,

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      Таким образом,

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

и для решения уравнения (5) мы получили формулу

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
(12)

которая и называется «Формула Кардано».

      Замечание. Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).

Пример решения кубического уравнения

      Пример. Решить уравнение

x3 – 6x2 – 6x – 2 = 0.(13)

      Решение. Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену

x = y + 2.(14)

      Тогда получим

x3 – 6x2 – 6x – 2 =
=
(y + 2)3– 6(y + 2)2
6(y + 2) – 2 =
= y3 + 6y2 + 12y + 8 – 6y2
24y – 24 – 6y – 12 – 2 =
=
y3 – 18y – 30.

      Следовательно, уравнение (13) принимает вид

y3 – 18y – 30 = 0.(15)

      Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано(16)

      Тогда поскольку

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

то уравнение (15) примет вид

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано(17)

      Далее из (17) получаем:

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      Отсюда по формуле (16) получаем:

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано
(18)

      Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

или использовали формулу

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень

Решение кубических уравнений вывод формулы Кардано

      Замечание 1. У уравнения (13) других вещественных корней нет.

      Замечание 2. Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня. Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

Решение кубических уравнений вывод формулы Карданоподготовительные курсы для школьников 8, 9, 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

Решение кубических уравнений вывод формулы Карданоиндивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ УСЛУГИ
Подготовительные курсы к ОГЭ и ЕГЭ
Подготовка к итоговому сочинению
Репетиторы
для школьников
НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


ЕГЭ по математике?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Проблемы с
математикой?

ПОМОЖЕМ!

(495) 509-28-10

Подготовка к ОГЭ и к ЕГЭ по математикеУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

Сложно с геометрией?

ПРИХОДИТЕ!

(495) 509-28-10

Помощь школьникам 8 9 10 11 классов по геометрииУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

ЕГЭ
по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»



Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


ОГЭ по русскому языку?

(495) 509-28-10
Курсы подготовки к ОГЭ и к ЕГЭ по русскому языкуУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика