Пусть x и y - произвольные вещественные числа.
Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.
Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0).
Комплексные числа, заданные парами (0, y), называют чисто мнимыми числами.
Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи.
Алгебраическая форма - это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y), записывается в виде
z = x + i y . | (1) |
где использован символ i , называемый мнимой единицей.
Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z.
Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z.
Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами.
Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами.
Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.
Сложение и вычитание комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 осуществляется по правилам сложения и вычитания двучленов (многочленов) x1 + i y1 и x2 + i y2 , т.е. в соответствии с формулами
z1 – z2 =
= x1 + i y1– (x2 + i y2) =
= x1– x2 + i (y1– y2) .
Умножение комплексных чисел z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:
i 2 = – 1 . | (2) |
По этой причине
Два комплексных числа z = x + iy и у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами.
Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения, обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:
Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле
Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:
а для произвольных комплексных чисел z1 и z2 справедливы неравенства:
Замечание. Если z - вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.
Деление комплексного числа z1 = x1 + i y1 на отличное от нуля комплексное число z2 = x2 + i y2 осуществляется по формуле
Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:
Деление на нуль запрещено.
Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.
Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).
Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью, а ось ординат Oy – мнимой осью.
При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.
Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z.
Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z.
Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным - в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).
Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.
Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k - произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:
Тогда оказывается справедливым равенство:
Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам
(3) |
Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y, то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле
(4) |
а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.
Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.
Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y
Расположение числа z | Знаки x и y | Главное значение аргумента | Аргумент | Примеры |
Положительная вещественная полуось | x > 0 , y = 0 | 0 | φ = 2kπ | |
Первый квадрант | x > 0 , y > 0 | |||
Положительная мнимая полуось | x = 0 , y > 0 | |||
Второй квадрант | x < 0 , y > 0 | |||
Отрицательная вещественная полуось | x < 0 , y = 0 | π | φ = π + 2kπ | |
Третий квадрант | x < 0 , y < 0 | |||
Отрицательная мнимая полуось | x = 0 , y < 0 | |||
Четвёртый квадрант | x > 0 , y < 0 |
Расположение числа z | Положительная вещественная полуось |
Знаки x и y | x > 0 , y = 0 |
Главное значение аргумента | 0 |
Аргумент | φ = 2kπ |
Примеры |
Расположение числа z | Первый квадрант |
Знаки x и y | x > 0 , y > 0 |
Главное значение аргумента | |
Аргумент | |
Примеры |
Расположение числа z | Положительная мнимая полуось |
Знаки x и y | x = 0 , y > 0 |
Главное значение аргумента | |
Аргумент | |
Примеры |
Расположение числа z | Второй квадрант |
Знаки x и y | x < 0 , y > 0 |
Главное значение аргумента | |
Аргумент | |
Примеры |
Расположение числа z | Отрицательная вещественная полуось |
Знаки x и y | x < 0 , y = 0 |
Главное значение аргумента | π |
Аргумент | φ = π + 2kπ |
Примеры |
Расположение числа z | Третий квадрант |
Знаки x и y | x < 0 , y < 0 |
Главное значение аргумента | |
Аргумент | |
Примеры |
Расположение числа z | Отрицательная мнимая полуось |
Знаки x и y | x = 0 , y < 0 |
Главное значение аргумента | |
Аргумент | |
Примеры |
Расположение числа z | Четвёртый квадрант |
Знаки x и y | x < 0 , y < 0 |
Главное значение аргумента | |
Аргумент | |
Примеры |
Расположение числа z : Положительная вещественная полуось Знаки x и y : x > 0 , y = 0 Главное значение аргумента: 0 Аргумент: φ = 2kπ Примеры: |
Расположение числа z : Знаки x и y : x > 0 , y > 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры: |
Расположение числа z : Положительная мнимая полуось Знаки x и y : x = 0 , y > 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры: |
Расположение числа z : Знаки x и y : x < 0 , y > 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры: |
Расположение числа z : Отрицательная вещественная полуось Знаки x и y : x < 0 , y = 0 Главное значение аргумента: π Аргумент: φ = π + 2kπ Примеры: |
Расположение числа z : Знаки x и y : x < 0 , y < 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры: |
Расположение числа z : Отрицательная мнимая полуось Знаки x и y : x = 0 , y < 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры: |
Расположение числа z : Знаки x и y : x < 0 , y < 0 Главное значение аргумента: Аргумент: Примеры: |
Из формулы (3) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде
z = r (cos φ + i sin φ) , | (5) |
где r и φ - модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .
Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа.
В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера:
cos φ + i sin φ = e iφ . | (6) |
Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде
z = r e iφ , | (7) |
где r и φ - модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .
Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа.
Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:
а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа
cos φ + i sin φ,
или, что то же самое, числа e iφ, при любом значении φ равен 1.
Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.
Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел и записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам
Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле
Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Пусть - произвольное комплексное число, отличное от нуля.
Корнем n - ой степени из числа z0 , где называют такое комплексное число z = r e iφ , которое является решением уравнения
z n = z0 . | (8) |
Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде
и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна 2kπ , где k - произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства
следствием которых являются равенства
(9) |
Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней
(10) |
где
причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов zk при k = 0 , ... , n – 1 располагаются в вершинах правильного n - угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.
Замечание. В случае n = 2 уравнение (8) имеет два различных корня z1 и z2 , отличающихся знаком:
z2 = – z1 .
Пример 1. Найти все корни уравнения
z3 = – 8i .
Решение. Поскольку
то по формуле (10) получаем:
Следовательно,
Пример 2. Решить уравнение
z2 + 2z + 2 = 0 .
Решение. Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:
Так как
то решения уравнения имеют вид
z1 = – 1 + i , z2 = – 1 – i .
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |