Числа Фибоначчи
Определение чисел Фибоначчи
Последовательностью (числами) Фибоначчи называют возвратную последовательность 2-го порядка, определяемую рекуррентной формулой
 |
(1) |
с начальными условиями
 |
(2) |
Другими словами, последовательность Фибоначчи - это такая последовательность, у которой первые два члена равны 1, а каждый член, начиная с третьего члена, равен сумме двух предыдущих членов.
Таким образом, числа
являются первыми десятью членами последовательности Фибоначчи.
Замечание. Определения возвратной последовательности, рекуррентной формулы, характеристического уравнения и формулы для общего решения рекуррентных уравнений приведены в разделе «Возвратные последовательности: рекуррентная формула, характеристическое уравнение» нашего справочника.
Вывод формулы общего члена последовательности Фибоначчи
Нашей целью является вывод формулы общего члена последовательности Фибоначчи. Чтобы получить эту формулу, будем действовать в соответствии со схемой, изложенной в разделе «Возвратные последовательности: вывод формулы общего члена».
-
Характеристическое уравнение для последовательности (1) имеет вид
Найдем его корни:
-
Поскольку корни характеристического уравнения вещественные и различные, то общее решение рекуррентного уравнения (1) имеет вид
где 
и 
- произвольные действительные числа.
-
Найдем теперь значения произвольных постоянных и так, чтобы для последовательности
 |
(3) |
выполнялись начальные условия (2). Это означает, что числа и должны удовлетворять следующей системе из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
- Решим полученную систему уравнений:
Для того, чтобы решить последнюю систему, вычтем первое уравнение из второго уравнения, оставив первое уравнение без изменений:
-
Подставляя найденные значения произвольных постоянных и в формулу (3), получаем искомую формулу общего члена последовательности Фибоначчи:
Замечание. Число
входящее в формулу общего члена последовательности Фибоначчи, является золотым отношением .
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика "проблемными".
Запись по телефону (495) 509-28-10. |
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике.
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ГИА по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента"
проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"
