Возвратные последовательности:
рекуррентная формула, характеристическое уравнение

Справочник по математике для школьников алгебра определение возвратной последовательностиОпределение возвратной последовательности
Справочник по математике для школьников алгебра возвратные последовательности характеристическое уравнениеХарактеристическое уравнение
Справочник по математике для школьников алгебра общее решение рекуррентного уравнения второго порядкаОбщее решение рекуррентного уравнения 2-го порядка
Справочник по математике для школьников алгебра схема вывода формулы общего члена возвратной последовательности второго порядкаСхема вывода формулы общего члена возвратной последовательности второго порядка
Справочник по математике для школьников алгебра возвратные последовательности примеры с решениямиПримеры с решениями
Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка вывод формулы общего члена примеры решения

Определение возвратной последовательности

      Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью формулы общего члена последовательности и с помощью рекуррентной формулы.

      Например, геометрическую прогрессию

x1 ,  x2 , … xn , …

можно задать, как с помощью формулы общего члена

xn = b1q n – 1,      
n = 1, 2, 3, … ,

так и с помощью рекуррентной формулы

x1 = b1;      xn = q xn – 1,      
n = 2, 3, …,

в каждой из которых символами b1 и q обозначены заданные числа – первый член и знаменатель прогрессии.

      Определение. Пусть k – натуральное число. Возвратной (рекуррентной) последовательностью порядка k называют последовательность, для задания которой требуется задать первые её k членов, т.е. числа

x1 ,  x2 , … xk ,

а остальные члены последовательности определяются с помощью рекуррентной формулы (рекуррентного уравнения)

xn = q1 xn – 1 + q2 xn – 2 +
+
… + qk xn – k ,      
n > k 
,

где

q1 ,  q2 , … qk ,

– заданные числа (коэффициенты рекуррентной формулы).

      Замечание 1. Числа

x1 ,  x2 , … xk ,

называют начальными условиями.

      Замечание 2. Для упрощения вычислений везде в дальнейшем будем рассматривать только случай возвратных последовательностей 2-го порядка, все члены которых являются вещественными числами.

      Для задания таких последовательностей требуется задать их первые два члена, то есть вещественные числа x1 и x2, а остальные члены последовательности

x1 ,  x2 , … xn , …

определяются с помощью рекуррентной формулы

xn = q1 xn – 1 + q2 xn – 2 ,    
n
 > 2 ,
(1)

где q1, q2 – заданные вещественные числа.

Характеристическое уравнение

      Для того, чтобы получить характеристическое уравнение возвратной последовательности (1), будем искать такие числа λ, при которых последовательность вида

xn = λn(2)

удовлетворяет рекуррентной формуле (1).

      Поскольку

xn – 1 = λn – 1 ,      
xn – 2 = λn – 2 ,
(3)

то при подстановке формул (2) и (3) в формулу (1) возникает уравнение

λn = q1 λn – 1 + q2 λn – 2 ,

которое удобно переписать в виде

λnq1 λn – 1
q2 λn – 2 = 0 .
(4)

      Если теперь уравнение (4) разделить на λn–2, то мы получим квадратное уравнение относительно  λ   вида:

λ2 q1 λ – q2 = 0 ,

которое и называют характеристическим уравнением.

Общее решение рекуррентного уравнения второго порядка

      В случае, когда характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня  λ1 и  λ2 , каждая из последовательностей

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка
и
Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

удовлетворяет рекуррентной формуле (1), поэтому для любых чисел c1 и c2 последовательность с общим членом

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

также удовлетворяет рекуррентной формуле (1).

      Числа c1 и c2 называют произвольными постоянными.

      В случае, когда характеристическое уравнение имеет два совпавших вещественных корня  λ1 = λ2, непосредственная проверка показывает, что каждая из последовательностей

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка
и
Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

удовлетворяет рекуррентной формуле (1), поэтому для любых чисел c1 и c2 последовательность с общим членом

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

также удовлетворяет рекуррентной формуле (1).

      В случае, когда характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня   λ1, 2 = α ± i β,   каждая из последовательностей

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка
Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

и

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка
Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

удовлетворяет рекуррентной формуле (1), поэтому для любых чисел c1 и c2 последовательность с общим членом

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

также удовлетворяет рекуррентной формуле (1).

Возвратные последовательности рекуррентная формула характеристическое уравнение общее решение рекуррентного уравнения 2 порядка

      Ряд примеров, в которых выводятся формулы общего члена возвратных последовательностей, разобран в разделе «Возвратные последовательности: вывод формулы общего члена» нашего справочника.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия




НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика