Справочник по математике

Алгебра

Последовательности чисел

Возвратные последовательности:
рекуррентная формула, характеристическое уравнение

Определение возвратной последовательности

Характеристическое уравнение

Общее решение рекуррентного уравнения 2-го порядка

Схема вывода формулы общего члена возвратной последовательности второго порядка

Примеры с решениями

Определение возвратной последовательности

      Существуют два способа задания числовых последовательностей – с помощью формулы общего члена последовательности и с помощью рекуррентной формулы.

      Например, геометрическую прогрессию

x₁ ,  x₂ , … x_n , …

можно задать, как с помощью формулы общего члена

x_n = b₁q ^{n – 1},      
n = 1, 2, 3, … ,

так и с помощью рекуррентной формулы

x₁ = b₁;      x_n = q x_{n – 1},      
n = 2, 3, …,

в каждой из которых символами b₁ и q обозначены заданные числа – первый член и знаменатель прогрессии.

      Определение. Пусть k – натуральное число. Возвратной (рекуррентной) последовательностью порядка k называют последовательность, для задания которой требуется задать первые её k членов, т.е. числа

x₁ ,  x₂ , … x_k ,

а остальные члены последовательности определяются с помощью рекуррентной формулы (рекуррентного уравнения)

x_n = q₁ x_{n – 1} + q₂ x_{n – 2} +
+ … + q_k x_{n – k} ,      
n > k ,

где

q₁ ,  q₂ , … q_k ,

– заданные числа (коэффициенты рекуррентной формулы).

      Замечание 1. Числа

x₁ ,  x₂ , … x_k ,

называют начальными условиями.

      Замечание 2. Для упрощения вычислений везде в дальнейшем будем рассматривать только случай возвратных последовательностей 2-го порядка, все члены которых являются вещественными числами.

      Для задания таких последовательностей требуется задать их первые два члена, то есть вещественные числа x₁ и x₂, а остальные члены последовательности

x₁ ,  x₂ , … x_n , …

определяются с помощью рекуррентной формулы

где q₁, q₂ – заданные вещественные числа.

Характеристическое уравнение

      Для того, чтобы получить характеристическое уравнение возвратной последовательности (1), будем искать такие числа λ, при которых последовательность вида

удовлетворяет рекуррентной формуле (1).

      Поскольку

то при подстановке формул (2) и (3) в формулу (1) возникает уравнение

λⁿ = q₁ λ^{n – 1} + q₂ λ^{n – 2} ,

которое удобно переписать в виде

      Если теперь уравнение (4) разделить на λ^n–2, то мы получим квадратное уравнение относительно  λ   вида:

λ² – q₁ λ – q₂ = 0 ,

которое и называют характеристическим уравнением.

Общее решение рекуррентного уравнения второго порядка

      В случае, когда характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня  λ₁ и  λ₂ , каждая из последовательностей

и

удовлетворяет рекуррентной формуле (1), поэтому для любых чисел c₁ и c₂ последовательность с общим членом

также удовлетворяет рекуррентной формуле (1).

      Числа c₁ и c₂ называют произвольными постоянными.

      В случае, когда характеристическое уравнение имеет два совпавших вещественных корня  λ₁ = λ₂, непосредственная проверка показывает, что каждая из последовательностей

и

удовлетворяет рекуррентной формуле (1), поэтому для любых чисел c₁ и c₂ последовательность с общим членом

также удовлетворяет рекуррентной формуле (1).

      В случае, когда характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня   λ_1, 2 = α ± i β,   каждая из последовательностей

и

удовлетворяет рекуррентной формуле (1), поэтому для любых чисел c₁ и c₂ последовательность с общим членом

также удовлетворяет рекуррентной формуле (1).

      Ряд примеров, в которых выводятся формулы общего члена возвратных последовательностей, разобран в разделе «Возвратные последовательности: вывод формулы общего члена» нашего справочника.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.