Понятие вектора |
Координаты вектора |
Длина вектора |
Равенство векторов |
Умножение вектора на число |
Сложение и вычитание векторов |
Скалярное произведение векторов |
Примеры решения задач |
Рассмотрим две произвольные точки. Если соединить эти точки стрелкой (рис.1),
Рис.1
то мы получим вектор.
Точку, из которой стрелка выходит, называют началом вектора. Точку, в которую стрелка входит, называют концом вектора.
Чтобы отличить вектор от отрезка с концами в тех же точках, используют обозначение (рис.2) или (рис.3).
Рис.2 | Рис.3 |
Рис.2 |
Рис.3 |
Иногда для вектора используют обозначения (рис.4) или (рис.5).
Рис.4 | Рис.5 |
Рис.4 |
Рис.5 |
Если две точки (начало и конец вектора) совпадают, то говорят, что эти точки задают нулевой вектор.
Рассмотрим произвольный вектор и предположим, что в пространстве задана декартова прямоугольная система координат Oxyz (рис.6).
Рис.6
Если в системе координат Oxyz точки A и B имеют координаты
A = (a1; a2; a3) и B = (b1; b2; b3) , | (1) |
то координатами вектора называют набор чисел
(2) |
Этот определение часто формулируют так: «Для того, чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала вектора».
Замечание. В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на некоторой координатной плоскости, в формулах (1) и (2) не будет третьих координат. Если же рассматриваются векторы, лежащие на некоторой координатной прямой, то в формулах (1) и (2) останутся только первые координаты.
Длиной (модулем) произвольного вектора называют длину отрезка AB
Длина вектора , координаты которого имеют вид
вычисляется по формуле
(3) |
Этот факт часто формулируют так: «Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат».
Замечание. В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на координатной плоскости, формула (3) принимает вид
(4) |
и совпадает с формулой, позволяющей найти расстояние между двумя точками координатной плоскости.
В случае, когда рассматриваются векторы, лежащие на координатной прямой, формулы (3) и (4) принимают вид
.
Векторы называют коллинеарными векторами, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Два вектора
и
являются коллинеарными векторами тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.
Другими словами, векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует такое действительное число t, что выполняются равенства
a1 = tb1, a2 = tb2, a3 = tb3.
Два вектора называют сонаправленными, если, во-первых, они коллинеарные, а, во-вторых, направлены так, как показано на рисунке 7.
Другими словами, если совместить начала этих векторов, то они окажутся лежащими на одной прямой, при этом будут направлены в одну сторону (концы векторов будут лежать на одном луче).
Рис.7
Два вектора называют противоположно направленными, если, во-первых, они коллинеарные, а, во-вторых, направлены так, как показано на рисунке 8.
Другими словами, если совместить начала этих векторов, то они окажутся лежащими на одной прямой, при этом будут направлены в разные стороны (концы векторов будут лежать по разные стороны от их общего начала).
Рис.8
Определение. Два вектора равны, если, во-первых, они сонаправленные, а, во-вторых, имеют одинаковую длину.
Другими словами, если совместить начала этих векторов, то их концы совпадут.
Замечание. Два вектора равны тогда и только тогда, когда у них совпадают наборы координат.
В результате умножения любого вектора на любое действительное число k получается такой вектор , который удовлетворяет следующим условиям:
Если вектор имеет координаты
то вектор имеет координаты
Другими словами, если вектор умножается на число, то и все его координаты умножаются на это число.
Для того, чтобы найти сумму двух произвольных векторов и нужно совместить начало вектора с концом вектора . Тогда началом вектора будет начало вектора , а концом вектора будет конец вектора (рис.9).
Рис.9
При этом, если
и
то
Этот факт часто формулируют так: «При сложении векторов их координаты складываются».
Для того, чтобы найти разность двух произвольных векторов и нужно воспользоваться формулой
Операция вычитания двух векторов наглядно изображена на рисунке 10.
Рис.10
При этом, если
и
то
Этот факт часто формулируют так: «Для того, чтобы найти координаты вектора , нужно из координат вектора вычесть координаты вектора ».
Определение. Скалярным произведением векторов и , которое обозначается называют число, равное произведению длин векторов и , умноженному на косинус угла между этими векторами (рис.11).
Рис.11
Таким образом,
(5) |
Из формулы (5) вытекает соотношение
которое можно сформулировать так: «Модуль вектора равен корню квадратному из скалярного произведения вектора на себя».
Следствие 1. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
Утверждение. Если в декартовой прямоугольной системе координат векторы имеют координаты
и | (6) |
то их скалярное произведение выражается формулой:
(7) |
Другими словами, в декартовой прямоугольной системе координат скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
Замечание. Зная координаты векторов (6), из формул (3), (5) и (7) можно найти косинус угла между векторами и
(8) |
Пример 1. При каких значениях параметра p векторы и перпендикулярны?
Решение. Воспользовавшись формулой (7), получим
Ответ: 4.
Пример 2. При каких значениях параметров α и β векторы (α; – 2; 5) и (1; β; – 4) коллинеарны?
Решение. Векторы, в силу изложенного выше, являются коллинеарными тогда и только тогда, когда существует такое действительное число t, что выполняются равенства:
Ответ: .
Пример 3. Длины векторов и равны 2 и 1 , соответственно, а угол между ними равен 60° . Найти длину вектора .
Решение. Рассмотрим рисунок 12.
Рис.12
Воспользовавшись теоремой косинусов, получим
Ответ: .
Пример 4. Длины векторов и равны 3 и 1, соответственно, а угол между ними равен 60°. Найти длину вектора .
Решение. Рассмотрим рисунок 13.
Рис.13
Воспользовавшись теоремой косинусов, получим
Ответ: .
Пример 5. Найти угол между векторами (3; 6; 2) и (4; 7; 4) .
Решение. Воспользовавшись формулой (8), получим
Ответ: .
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |