Деление многочленов на многочлены второй степени. Метод неопределенных коэффициентов
Метод неопределенных коэффициентов используется при решении многих задач в различных разделах математики. Рассмотрим, как применяется этот метод, в задачах, связанных с делением многочленов на многочлены второй степени.
Задача 1. Найти остаток от деления многочлена
на квадратный трехчлен
Решение. Конечно же, задачу 1 можно было бы решить, разделив «уголком» делимое на делитель, но мы приведем гораздо более короткое и красивое решение, основанное на методе неопределенных коэффициентов. Для этого сначала найдем корни делителя:
Таким образом, корнями делителя являются числа 1 и 2. Поэтому разложение делителя на линейные множители имеет вид:
Поскольку степень делителя равна 2, то остаток от деления будет многочленом, степень которого не выше первой, и справедливо следующее тождество, верное для всех значений переменной 
:
В этом тождестве 
обозначает частное от деления – многочлен 7-ой степени, а выражение
где 
и 
– числа, обозначает остаток от деления – многочлен, степень которого равна 0, если число равно нулю, и равна 1,если число отлично от нуля.
Числа и и называют неопределенными коэффициентами.
Если теперь в тождество подставить значения 
и 
, то мы получим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными для нахождения неопределенных коэффициентов и :
Отсюда вытекает, что искомый остаток от деления является многочленом первой степени и имеет вид:
Ответ:
Задача 2. Найти остаток от деления многочлена
на квадратный трехчлен
Решение. Действуя по аналогии с решением задачи 1, рассмотрим тождество
где и - неопределенные коэффициенты. Если от обеих частей этого тождества взять производную, то мы также получим тождество, которое имеет следующий вид:
Если теперь в оба тождества подставить значение 
, то мы получим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными для нахождения неопределенных коэффициентов и :
Ответ: 
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика "проблемными".
Запись по телефону (495) 509-28-10. |
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике.
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ГИА по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента"
проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"
