Алгоритм деления «уголком» многочленов от одной переменной
Напомним, что разделить натуральное число 
на натуральное число 
, – это значит представить число в виде:
где частное 
и остаток 
– целые неотрицательные числа, причем остаток удовлетворяет неравенству:
Если друг на друга делить многочлены, то возникает похожая ситуация.
Действительно, при выполнении над многочленами операций сложения, вычитания и умножения результатом всегда будет многочлен. В частности, при перемножении двух многочленов, отличных от нуля, степень произведения будет равна сумме степеней сомножителей.
Однако в результате деления многочленов многочлен получается далеко не всегда.
Говорят, что один многочлен нацело (без остатка) делится на другой многочлен, если результатом деления является многочлен.
Если же один многочлен не делится нацело на другой многочлен, то всегда можно выполнить деление многочленов с остатком, в результате которого и частное, и остаток будут многочленами.
Определение. Разделить многочлен 
на многочлен 
с остатком – это значит представить многочлен в виде
,
где многочлен 
– частное, а многочлен 
– остаток, причем, степень остатка удовлетворяет неравенству:
.
Очень важно отметить, что формула
является тождеством, т.е. равенством, справедливым при всех значениях переменной 
.
При делении (с остатком или без остатка) многочлена на многочлен меньшей степени в частном получается многочлен, степень которого равна разности степеней делимого и делителя.
Один из способов деления многочленов с остатком – это деление многочленов «уголком», что представляет собой полную аналогию с тем, как это происходит при делении целых чисел.
К описанию этого способа деления многочленов мы сейчас и переходим.
Пример. Заранее расположив многочлены по убывающим степеням переменной, разделим многочлен
на многочлен
.
Решение. Опишем алгоритм деления многочленов «уголком» по шагам:
- Делим первый член делимого
на первый член делителя 
. Получаем первый член частного 
.
- Умножаем первый член частного на делитель , а результат умножения
пишем под делимым .
- Вычитаем из делимого написанный под ним многочлен. Получаем первый остаток
Если бы этот остаток был равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя (в данном случае меньше 2), то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.
- Делим первый член остатка
на первый член делителя . Получаем второй член частного .
- Умножаем второй член частного на делитель , а результат умножения
пишем под первым остатком .
- Вычитаем из первого остатка написанный под ним многочлен. Получаем второй остаток
Если бы этот остаток был бы равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя, то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.
- Делим первый член второго остатка
на первый член делителя . Получаем третий член частного 4.
- Умножаем третий член частного 4 делитель , а результат умножения
пишем под вторым остатком.
- Вычитаем из второго остатка написанный под ним многочлен. Получаем третий остаток
Степень этого остатка равна 1, что меньше, чем степень делителя. Следовательно, процесс деления закончен.
- Таким образом,
где
Запись изложенного процесса деления многочленов «уголком» имеет следующий вид:
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика "проблемными".
Запись по телефону (495) 509-28-10. |
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике.
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ГИА по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента"
проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"
