Справочник по математике

Алгебра

Деление многочленов. Корни многочленов

Деление многочленов на многочлены первой степени. Теорема Безу

      При решении алгебраических уравнений часто приходится делить различные многочлены на многочлены первой степени (двучлены первой степени). По этой причине рассмотрим более подробно ситуацию, когда произвольный многочлен   a (x) ,   степень которого отлична от нуля, делится на двучлен вида

x – α ,

где   α   – любое число.

      Деление многочлена   a (x)   на многочлен   x – α   с остатком означает, что при всех значениях   x   справедливо равенство

a (x) = (x – α) c (x) + r (x) ,

где многочлен   c (x)   – частное, а многочлен   r (x)   – остаток, причем, степень остатка удовлетворяет неравенству:

      Отсюда вытекает, что степень остатка   r (x)   равна   0,   а, поскольку многочлен, степень которого равняется   0,   является числом, то

r (x) = r ,

где   r   – число. Таким образом, выполняется тождество

a (x) = (x – α) c (x) + r ,

справедливое для всех значений переменной   x,   а, значит, и для значения   x   равного   α .

      Если теперь в это тождество вместо переменной   x   подставить число   α ,   то мы получим равенство вида:

a (α) = r .

      Тем самым доказано следующее утверждение.

      Утверждение. Остаток от деления произвольного многочлена   a (x)   на двучлен   x – α   равен значению, которое принимает многочлен   a (x)   при   x = α .

      Теорема Безу. Многочлен   a (x)   нацело делится на двучлен   x – α   тогда, и только тогда, когда число   α   является корнем многочлена   a (x) .

      Доказательство. В случае, когда число   α   является корнем многочлена   a (x)   выполняется равенство:

a (α) = 0.

      В то же время, как доказано ранее, выполняется равенство:

a (α) = r .

      Таким образом, остаток от деления многочлена   a (x)   на двучлен   x – α   равен нулю тогда и только тогда, когда число   α   является корнем многочлена   a (x) .   Следовательно, многочлен   a (x)   без остатка делится на двучлен   x – α   тогда, и только тогда, когда   α   является корнем многочлена   a (x) .   Что и требовалось доказать.

      Следствие 1. Пусть   n   – любое натуральное число, а   α   – произвольное число, тогда двучлен

xⁿ – αⁿ

нацело делится на двучлен

x – α .

      Следствие 2. Пусть   m   – любое натуральное число, а   α   – произвольное число, тогда двучлен

x^2m – α^2m

нацело делится на двучлен

x + α .

      Следствие 3. Пусть   m   – любое натуральное число, а   α   – произвольное число, тогда двучлен

x^{2m + 1} + α^{2m + 1}

нацело делится на двучлен

x + α .

      Замечание. Доказательство всех трех следствий легко вытекает из теоремы Безу.

      Пример. Найти остаток от деления многочлена

7x¹⁰ – 3x⁶ + 4x³ + 8

на двучлен

x + 2 .

      Решение. Для того, чтобы найти искомый остаток от деления, найдем значение многочлена в точке

x = – 2 .

      Проведя необходимые вычисления, получаем:

7(– 2)¹⁰ – 3(– 2)⁶ +
+ 4(– 2)³ + 8 = 6952 .

      Ответ:   6952.

   На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.