Разложение многочленов на множители. Формулы Виета
Алгебраические уравнения
Пусть 
- произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен -ой степени от переменной 
 |
(1) |
коэффициенты которого
 |
(2) |
являются любыми комплексными числами.
Заметим, что в этом случае коэффициент 
отличен от нуля, и введем следующее определение.
Алгебраическим уравнением степени с неизвестным называют уравнение вида
 |
(3) |
Определение 1. Корнем уравнения (3) называют вещественное или комплексное число 
, для которого
Определение 2. Число называют корнем кратности 
уравнения (3), если справедливо равенство
,
где
.
Разложение многочленов на множители в комплексной области
Основная теорема алгебры (теорема Гаусса) утверждает, что любое алгебраическое уравнение вида (3) имеет корней, при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность.
Если
- полный набор корней уравнения (3), а
- их кратности, то, во-первых,
а, во-вторых, справедливо равенство
 |
(4) |
Замечание. Линейными множителями называют многочлены первой степени
входящие в формулу (4), а саму формулу (4) называют формулой разложения многочленов на линейные множители в комплексной области.
Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами
Рассмотрим теперь многочлены степени 
, все коэффициенты которых являются вещественными числами.
Тогда справедливо следующее
Утверждение. Если комплексное число
является корнем кратности 
многочлена с вещественными коэффициентами, то и комплексно сопряженное число
является корнем этого многочлена, причем тоже кратности .
Из утверждения вытекает, что в разложение (4) степень каждого бинома, содержащая комплексный корень 
 |
(5) |
входит в паре со степенью бинома, содержащей комплексно сопряженный корень 
 |
(6) |
А поскольку
то произведение каждой пары биномов (5) и (6), входящей в формулу (4), даёт степень квадратного трехчлена с вещественными коэффициентами:
Следствие. Каждый многочлен ненулевой степени, коэффициенты которого являются вещественными числами, разлагается на множители, являющиеся многочленами с вещественными коэффициентами первой или второй степени.
Пример. Разложить на множители многочлен четвертой степени
Решение.
Теорема (формулы) Виета
Снова рассмотрим уравнение -ой степени от переменной
 |
(7) |
и, немного изменив предыдущие обозначения, предположим, что
 |
(8) |
- его корни, причем в записи (8) каждый корень взят столько раз, какова его кратность.
Тогда из формулы (4) вытекают следующие равенства, которые называют формулами Виета для уравнения -ой степени:
Формулы Виета для 
доказаны в разделе «Квадратные уравнения» нашего справочника.
При 
уравнение (7) имеет вид
а формулы Виета записываются так:
В случае уравнения 4-ой степени
формулы Виета записываются так:
Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика "проблемными".
Запись по телефону (495) 509-28-10. |
На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике.
Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ГИА по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента"
проводит
У нас также для школьников организованы
МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"
