Справочник по математике

Алгебра

Комплексные числа

Комплексные числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

      Пусть и - произвольные вещественные числа.

      Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар  вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

      Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар   .

      Комплексные числа, заданные парами   , называют чисто мнимыми числами.

      Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи.

      Алгебраическая форма - это  такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число  , заданное парой вещественных чисел   , записывается в виде

(1)

где использован символ  , называемый мнимой единицей.

      Число называют вещественной (реальной) частью комплексного числа и обозначают   .

      Число называют мнимой частью комплексного числа и обозначают   .

      Комплексные числа, у которых   , являются вещественными числами.

      Комплексные числа, у которых   , являются чисто мнимыми числами.

      Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

      Сложение и вычитание комплексных чисел  и  осуществляется по правилам сложения и вычитания двучленов (многочленов)  и , т.е. в соответствии с формулами

      Умножение комплексных чисел  и , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

(1)

      По этой причине

Комплексно сопряженные числа

      Два комплексных числа и у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами.

      Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения, обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Модуль комплексного числа

      Модулем комплексного числа называют вещественное число, обозначаемое  и определенное по формуле

      Для произвольного комплексного числа справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел  и справедливы неравенства:

      Замечание. Если  - вещественное число, то его модуль  равен его абсолютной величине.

Деление комплексных чисел

      Деление  комплексного числа  на отличное от нуля комплексное число  осуществляется по формуле

      Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

      Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

      Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

      Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, и будем представлять комплексное число радиус–вектором с координатами   .

      Назовем ось абсцисс вещественной осью, а ось ординат - мнимой осью.

      При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

      Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа  .

      Аргументом комплексного числа называют угол между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором  .

      Аргумент комплексного числа считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к  радиус-вектору происходит против часовой стрелки, и отрицательным  -  в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

      Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

      Поскольку аргумент  любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого  где - произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое и удовлетворяющее неравенствам:

      Тогда оказывается справедливым равенство:

      Если для комплексного числа нам известны его модуль  и его аргумент , то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

(3)

      Если же комплексное число задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа и , то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

      Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

      Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа

Расположение числа	Знаки и	Главное значение аргумента	Аргумент	Примеры
Положительная вещественная полуось
Первый квадрант
Положительная мнимая полуось
Второй квадрант
Отрицательная вещественная полуось
Третий квадрант
Отрицательная мнимая полуось
Четвёртый квадрант

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

      Из формулы (3) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число может быть записано в виде

(5)

где и - модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству .

      Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа.

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

      В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера:

(6)

      Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа  (5)  вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число может быть записано в виде

,

(7)

где и - модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству .

      Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа.

      Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

а из формул (4)  и (6) следует, что модуль комплексного числа

или, что то же самое, числа  , при любом значении равен 1.

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

      Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

      Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел  и  записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

      Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

      При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

      Возведение комплексного числа  в натуральную степень осуществляется по формуле

      Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

      Пусть - произвольное комплексное число, отличное от нуля.

      Корнем - ой степени из числа , где  называют такое комплексное число , которое является решением уравнения

(8)

      Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна ,  где - произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

следствием которых являются равенства

(9)

      Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет различных корней

(10)

где

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов  при   располагаются в вершинах правильного - угольника, вписанного в окружность радиуса  с центром в начале координат.

      Замечание. В случае уравнение (8) имеет два различных корня  и , отличающихся знаком:

      Пример 1. Найти все корни уравнения

      Решение. Поскольку

то по формуле (10) получаем:

      Следовательно,

      Пример 2. Решить уравнение

      Решение. Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

      Так как

то решения уравнения имеют вид

 

Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика "проблемными".        Запись по телефону (495) 509-28-10.

   На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента" учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике.

        Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ГИА по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит

курсы подготовки к ЕГЭ для школьников 11 класса

курсы подготовки к ГИА для школьников 9 класса

         У нас также для школьников организованы

индивидуальные занятия с репетиторами по математике

индивидуальные занятия с репетиторами по русскому языку

индивидуальные занятия с репетиторами по физике

МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА"