Справочник по математике

Геометрия (Стереометрия)

Цилиндры

Цилиндры

Основные определения и свойства цилиндра

Сечения цилиндра

Объем цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра

Основные определения и свойства цилиндра

      Рассмотрим две паралллельные плоскости паралллельные плоскости   α   и   β   и произвольную окружность радиуса   r   с центром в точке   O ,   лежащую в плоскости   α   (рис. 1).

Рис.1

      Если из каждой точки окружности опустить перпендикуляр на плоскость   β,   то основания этих перпендикуляров образуют на плоскости   β   окружность радиуса   r,   центр   O₁   которой является основанием перпендикуляра, опущенного из точки   O   на плоскость   β   (рис.2).

Рис.2

      Определение 1.

	Отрезок перпендикуляра, опущенного из любой точки окружности с центром   O   на плоскость  β ,   который заключен между плоскостями   α   и   β ,   называют образующей цилиндра.
	Совокупность всех образующих цилиндра называют цилиндрической поверхностью.
	Фигуру, ограниченную цилиндрической поверхностью и плоскостями   α   и   β,   называют цилиндром.
	Отрезок   OO1   называют осью цилиндра .
	Радиус окружности Радиус окружности на плоскости   α   с центром в точке   O   называют радиусом цилиндра.
	Расстояние между плоскостямиРасстояние между плоскостями   α   и   β ,   называют высотой цилиндра.
	Круги с центрами   O   и   O1   на плоскостях   α   и   β ,   называют основаниями цилиндра.

      Замечание 1. Цилиндрическую поверхность часто называют боковой поверхностью цилиндра. Боковая поверхность цилиндра и основания цилиндра вместе составляют полную поверхность цилиндра.

      Замечание 2. Каждая образующая цилиндра параллельна оси цилиндра, а длина каждой образующей цилиндра равна высоте цилиндра.

     Замечание 3. Прямая   OO₁   является осью симметрии цилиндра, а середина отрезка   OO₁   является центром симметрии цилиндра.

Сечения цилиндра

      Определение 2. Сечением цилиндра называют пересечение цилиндра с плоскостью.
      Если сечение проходит через ось цилиндра, то такое сечение называют осевым сечением цилиндра (рис. 3).

Рис.3

      На рисунке 3 изображено одно из осевых сечений цилиндра – прямоугольник   AA₁B₁B .

     Замечание 4. Каждое осевое сечение цилиндра с радиусом  r и высотой   h   является прямоугольником со сторонами   2r   и   h .

      Определение 3. Перпендикулярным сечением цилиндра называют сечение, перпендикулярное оси цилиндра (рис. 4).

Рис.4

      Замечание 5. Любым перпендикулярным сечением цилиндра будет круг радиуса   r .

      Замечание 6. Более подробно случаи взаимного расположения цилиндра и плоскости рассматриваются в разделе нашего справочника «Взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве».

Объем цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра

      Для цилиндра с радиусом   r   и высотой   h   (рис. 5)

Рис.5

введем следующие обозначения

      Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности цилиндра:

S_осн = πr²,

V = S_осн h = πr²h,

S_бок= 2πrh,

S_полн = 2πr² + 2πrh =
= 2π(r + h).

      Замечание 7. Формула объема цилиндра   V = πr²h   может быть получена из формулы объема правильной n – угольной призмыформулы объема правильной n – угольной призмы

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной призмы n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.