Параллелограммы
 Свойства и признаки параллелограмма |
| Свойства и признаки прямоугольника |
| Свойства и признаки ромба |
| Свойства и признаки квадрата |
Замечание. Мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольникивыпуклые четырёхугольники.
Свойства и признаки параллелограмма
| Тип утверждения | Фигура | Рисунок | Формулировка |
| Определение | Параллелограмм |  | Параллелограммом называют четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны |
| Определение | Диагонали параллелограмма |  | Диагональю параллелограмма называют отрезок, соединяющий противоположные вершины |
| Определение | Высота параллелограмма |  | Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, опущенный из любой точки на стороне параллелограмма на противоположную сторону параллелограмма или ее продолжение |
| Свойство | Равенство противолежащих сторон |  | Если четырёхугольник является параллелограммом, то его противолежащие стороны равны |
| Признак | Если у четырёхугольника противолежащие стороны равны, то он является параллелограммом | ||
| Признак | Равенство и параллельность двух противолежащих сторон |  | Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то он является параллелограммом |
| Свойство | Диагонали точкой пересечения делятся пополам |  | Если четырёхугольник является параллелограммом, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам |
| Признак | Если у четырёхугольника диагонали точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом | ||
| Свойство | Суммы углов, прилежащих к сторонам |  | Если четырёхугольник является параллелограммом, то сумма углов, прилежащих к любой его стороне равна 180° |
| Признак | Если у четырёхугольника сумма углов, прилежащих к любой его стороне равна 180°, то четырёхугольник является параллелограммом | ||
| Свойство | Равенство противолежащих углов | Если четырёхугольник является параллелограммом, то его противолежащие углы равны | |
| Признак | Если у четырёхугольника противолежащие углы равны, то четырёхугольник является параллелограммом | ||
| Свойство | Два треугольника, на которые каждая диагональ делит четырёхугольник |  | Если четырёхугольник является параллелограммом, то каждая диагональ делит его на два равных треугольника |
| Признак | Если каждая диагональ четырёхугольника делит его на два равных треугольника, то четырёхугольник является параллелограммом | ||
| Свойство | Четыре треугольника, на которые диагонали делят четырёхугольник |  | Если четырёхугольник является параллелограммом, то диагонали делит его на четыре треугольника равной площади (равновеликих треугольника) |
| Признак | Если диагонали четырёхугольника делят его на четыре треугольника равной площади (равновеликих треугольника), то четырёхугольник является параллелограммом |
| Определение: параллелограмм | |
| Параллелограммом называют четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны |
| Определение: диагонали параллелограмма | |
| Диагональю параллелограмма называют отрезок, соединяющий противоположные вершины |
| Определение: высота параллелограмма | |
| Высотой параллелограмма называютперпендикуляр, опущенный из любой точки на стороне параллелограмма на противоположную сторону параллелограмма или ее продолжение |
| Свойство: равенство противолежащих сторон | |
| Если четырёхугольник является параллелограммом, то его противолежащие стороны равны |
| Признак: равенство противолежащих сторон | |
| Если у четырёхугольника противолежащие стороны равны, то он является параллелограммом |
| Признак: равенство и параллельность двух противолежащих сторон | |
| Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то он является параллелограммом |
| Свойство: диагонали точкой пересечения делятся пополам | |
| Если четырёхугольник является параллелограммом, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам |
| Признак: диагонали точкой пересечения делятся пополам | |
| Если у четырёхугольника диагонали точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом |
| Свойство: суммы углов, прилежащих к сторонам | |
| Если четырёхугольник является параллелограммом, то сумма углов, прилежащих к любой его стороне равна 180° |
| Признак: суммы углов, прилежащих к сторонам | |
| Если у четырёхугольника сумма углов, прилежащих к любой его стороне равна 180°, то четырёхугольник является параллелограммом |
| Свойство: равенство противолежащих углов | |
| Если четырёхугольник является параллелограммом, то его противолежащие углы равны |
| Признак: равенство противолежащих углов | |
| Если у четырёхугольника противолежащие углы равны, то четырёхугольник является параллелограммом |
| Свойство: два треугольника, на которые каждая диагональ делит четырёхугольник | |
| Если четырёхугольник является параллелограммом, то каждая диагональ делит его на два равных треугольника |
| Признак: два треугольника, на которые каждая диагональ делит четырёхугольник | |
| Если каждая диагональ четырёхугольника делит его на два равных треугольника, то четырёхугольник является параллелограммом |
| Свойство: четыре треугольника, на которые диагонали делят четырёхугольник | |
| Если четырёхугольник является параллелограммом, то диагонали делит его на четыре треугольника равной площади (равновеликих треугольника) |
| Признак: четыре треугольника, на которые диагонали делят четырёхугольник | |
| Если диагонали четырёхугольника делят его на четыре треугольника равной площади (равновеликих треугольника), то четырёхугольник является параллелограммом |
| Параллелограмм |
Определение: Параллелограммом называют четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны |
| Диагонали параллелограмма |
Определение: Диагональю параллелограмма называют отрезок, соединяющий противоположные вершины |
| Высота параллелограмма |
Определение: Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, опущенный из любой точки на стороне параллелограмма на противоположную сторону параллелограмма или ее продолжение |
| Равенство противолежащих сторон |
Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то его противолежащие стороны равны. Признак: Если у четырёхугольника противолежащие стороны равны, то он является параллелограммом. |
| Равенство и параллельность двух противолежащих сторон |
Признак: Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то он является параллелограммом. |
| Диагонали точкой пересечения делятся пополам |
Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Признак: Если у четырёхугольника диагонали точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом. |
| Суммы углов, прилежащих к сторонам |
Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то сумма углов, прилежащих к любой его стороне равна 180°. Признак: Если у четырёхугольника сумма углов, прилежащих к любой его стороне равна 180°, то четырёхугольник является параллелограммом. |
| Равенство противолежащих углов |
Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то его противолежащие углы равны. Признак: Если у четырёхугольника противолежащие углы равны, то четырёхугольник является параллелограммом. |
| Два треугольника, на которые каждая диагональ делит четырёхугольник |
Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то каждая диагональ делит его на два равных треугольника. Признак: Если каждая диагональ четырёхугольника делит его на два равных треугольника, то четырёхугольник является параллелограммом. |
| Четыре треугольника, на которые диагонали делят четырёхугольник |
Свойство: Если четырёхугольник является параллелограммом, то диагонали делит его на четыре треугольника равной площади (равновеликих треугольника) Признак: Если диагонали четырёхугольника делят его на четыре треугольника равной площади (равновеликих треугольника), то четырёхугольник является параллелограммом. |
Свойства и признаки прямоугольника
| Тип утверждения | Фигура | Рисунок | Формулировка |
| Определение | Прямоугольник |  | Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые |
| Свойство | Равенство диагоналей |  | Если параллелограмм является прямоугольником, то его диагонали равны |
| Признак | Если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником |
| Определение: прямоугольник | |
| Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые |
| Свойство: равенство диагоналей | |
| Если параллелограмм является прямоугольником, то его диагонали равны |
| Признак: равенство диагоналей | |
| Если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником |
| Прямоугольник |
Определение: Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые. |
| Равенство диагоналей |
Свойство: Если параллелограмм является прямоугольником, то его диагонали равны. Признак: Если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником. |
Свойства и признаки ромба
| Тип утверждения | Фигура | Рисунок | Формулировка |
| Определение | Ромб |  | Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны |
| Свойство | Биссектрисы углов диагонали |  | Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали является биссектрисами углов |
| Признак | Если у параллелограмма диагонали являются биссектрисами углов, то параллелограмм является ромбом | ||
| Свойство | Перпендикулярность диагоналей |  | Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали перпендикулярны |
| Признак | Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом |
| Определение: ромб | |
| Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны |
| Свойство: биссектрисы углов и диагонали | |
| Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали являются биссектрисами углов |
| Признак: биссектрисы углов и диагонали | |
| Если у параллелограмма диагонали являются биссектрисами углов, то параллелограмм является ромбом |
| Свойство: перпендикулярность диагоналей | |
| Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали перпендикулярны |
| Признак: перпендикулярность диагоналей | |
| Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом |
| Ромб |
Определение: Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны |
| Биссектрисы углов и диагонали |
Свойство: Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали являются биссектрисами углов Признак: Если у параллелограмма диагонали являются биссектрисами углов, то параллелограмм является ромбом |
| Перпендикулярность диагоналей |
Свойство: Если параллелограмм является ромбом, то его диагонали перпендикулярны Признак: Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом |
Свойства и признаки квадрата
| Тип утверждения | Фигура | Рисунок | Формулировка |
| Определение | Квадрат |  | Квадратом называют параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны |
| Свойство | Перпендикулярность и равенство диагоналей |  | Если параллелограмм является квадратом, то его диагонали перпендикулярны и равны |
| Признак | Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны и равны, то он является квадратом | ||
| Свойство | Перпендикулярность диагоналей | Если прямоугольник является квадратом, то его диагонали перпендикулярны | |
| Признак | Если у прямоугольника диагонали перпендикулярны, то он является квадратом | ||
| Свойство | Равенство диагоналей |  | Если ромб является квадратом, то его диагонали равны |
| Признак | Если у ромба диагонали равны, то он является квадратом |
| Определение: квадрат | |
| Квадратом называют параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны |
| Свойство: перпендикулярность и равенство диагоналей | |
| Если параллелограмм является квадратом, то его диагонали перпендикулярны и равны |
| Признак: перпендикулярность и равенство диагоналей | |
| Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны и равны, то он является квадратом |
| Свойство: перпендикулярность диагоналей | |
| Если прямоугольник является квадратом, то его диагонали перпендикулярны |
| Признак: перпендикулярность диагоналей | |
| Если у прямоугольника диагонали перпендикулярны, то он является квадратом |
| Свойство: равенство диагоналей | |
| Если ромб является квадратом, то его диагонали равны |
| Признак: равенство диагоналей | |
| Если у ромба диагонали равны, то он является квадратом |
| Квадрат |
Определение: Квадратом называют параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны |
| Перпендикулярность и равенство диагоналей |
Свойство: Если параллелограмм является квадратом, то его диагонали перпендикулярны и равны Признак: Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны и равны, то он является квадратом |
| Перпендикулярность диагоналей |
Свойство: Если прямоугольник является квадратом, то его диагонали перпендикулярны Признак: Если у прямоугольника диагонали перпендикулярны, то он является квадратом |
| Равенство диагоналей |
Свойство: Если ромб является квадратом, то его диагонали равны Признак: Если у ромба диагонали равны, то он является квадратом |
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
| До ЕГЭ по математике осталось | |||
| дней | часов | минут | секунд |