Справочник по математикеУглы связанные с окружностью вписанные центральные между хордами между хордой и касательной свойства вывод формулГеометрия (Планиметрия)Углы связанные с окружностью вписанные центральные между хордами между хордой и касательной свойства вывод формул Углы

 

Углы, связанные с окружностью

Содержание

вписанные и центральные углы Вписанные и центральные углы
Теоремы о вписанных и центральных углах Теоремы о вписанных и центральных углах
углы образованные хордами, касательными и секущими Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими
доказательства теорем об углах связанных с окружностью Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью
 

Углы связанные с окружностью вписанные центральные между хордами между хордой и касательной свойства вывод формул

Вписанные и центральные углы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами (рис. 1).

Вписанные и центральные углы

Рис. 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами (рис. 2).

Вписанные и центральные углы

Рис. 2

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Теоремы о вписанных и центральных углах

 

Вписанные углы

Теорема

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанные и центральные углы

Посмотреть доказательство

Теорема

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вписанные и центральные углы

Теорема

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Вписанные и центральные углы

Теорема

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Вписанные и центральные углы

Теорема

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Вписанные и центральные углы

Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Теорема

Центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.

Вписанные и центральные углы

Посмотреть доказательство

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

 

Угол, образованный пересекающимися хордами

Теорема

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Формула

Доказательство теоремы об угле между пересекающимися хордами

Посмотреть доказательство

Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга

Теорема

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Формула

Доказательство теоремы об угле между секущими

Посмотреть доказательство

Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания

Теорема

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Формула

Доказательство теоремы об угле между касательной и хордой

Посмотреть доказательство

Угол, образованный касательной и секущей

Теорема

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Теоремы об углах образованных хордами  касательными и секущими

Формула

Доказательство теоремы об угле между касательной и секущей

Посмотреть доказательство

Угол, образованный двумя касательными к окружности

Теорема

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Теоремы об углах образованных хордами  касательными и секущими

Формулы

Доказательство теоремы об угле между двумя касательными

Посмотреть доказательство

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

ТЕОРЕМА 1. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала вписанный угол ABC, сторона BC которого является диаметром окружности, и центральный угол AOC (рис. 3).

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Рис. 3

Так как отрезки AO и BO являются радиусами окружности, то треугольник AOB – равнобедренный, и угол ABO равен углу OAB. Поскольку угол AOC является внешним углом треугольника AOB, то справедливы равенства

Доказательство теоремы о вписанном и центральном углах Доказательство теоремы о вписанном и центральном углах

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 4).

Теоремы об углах образованных хордами  касательными и секущими

Рис. 4

В этом случае справедливы равенства

Доказательство теоремы о вписанном и центральном углах

Доказательство теоремы о вписанном и центральном углах

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 5).

Теоремы об углах образованных хордами  касательными и секущими

Рис. 5

В этом случае справедливы равенства

Доказательство теоремы о вписанном и центральном углах

Доказательство теоремы о вписанном и центральном углах

что и завершает доказательство теоремы 1.

ТЕОРЕМА 2. Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим рисунок 6.

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Рис. 6

Нас интересует величина угла AED, образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD. Поскольку угол AED внешний угол треугольника BED, а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Доказательство теоремы об угле между пересекающимися хордами

что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 3. Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим рисунок 7.

Теоремы об углах образованных хордами  касательными и секущими

Рис. 7

Нас интересует величина угла BED, образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD. Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE, а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Доказательство теоремы об угле между секущими

что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 4. Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим рисунок 8.

Теоремы об углах образованных хордами  касательными и секущими

Рис. 8

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD диаметр, проходящий через точку касания, а угол ACDвписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Доказательство теоремы об угле между касательной и хордой

что и требовалось доказать

ТЕОРЕМА 5. Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим рисунок 9.

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Рис. 9

Нас интересует величина угла BED, образованного касательной AB и секущей CD. Заметим, что угол BDC внешний угол треугольника DBE, а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB, в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Доказательство теоремы об угле между касательной и секущей

Доказательство теоремы об угле между касательной и секущей

что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 6. Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим рисунок 10.

Теоремы об углах образованных хордами касательными и секущими

Рис. 10

Нас интересует величина угла BED, образованного касательными AB и CD. Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют   π радиан. Поэтому справедливо равенство

α = π – γ .

Далее получаем

Доказательство теоремы об угле между двумя касательными

что и требовалось доказать.

© «Резольвента - учебные материалы», 2009-2024 

Rambler's Top100  Рейтинг@Mail.ru

Метрика Яндекса
 Яндекс.Метрика