Справочник по математикеприращение аргумента приращение функции производная функции непрерывность функции примерыЭлементы математического анализаприращение аргумента приращение функции производная функции непрерывность функции примеры Производная функции

 

Приращение аргумента и приращение функции. Производная как предел отношения приращений. Непрерывность функции

Содержание

приращение аргумента приращение функции производная функции примеры Приращение аргумента и приращение функции. Производная как предел отношения приращений
Непрерывность функции примеры Непрерывность функции
 

приращение аргумента приращение функции производная функции непрерывность функции примеры

Приращение аргумента и приращение функции. Производная как предел отношения приращений

В разделе «Секущая графика функции. Касательная к графику функции. Производная функции. Геометрический смысл производной» нашего справочника приведено определение производной функции   y = f (x)   в точке   x0   (в том случае, если она существует) как числа, к которому стремится отношение

приращение аргумента приращение функции производная функции примеры (1)

при   x1 → x0 .   Коротко это принято записывать так:

приращение аргумента приращение функции производная функции примеры (2)

Заметим, что существование производной функции   y = f (x)   и значение производной зависят от выбора точки   x0 . Поэтому производная функции сама является функцией точки   x0 .

Если в формуле (2) заменить  x0   на   x ,   а разность  x1 – x0   обозначить символом  Δx,   то эта формула примет вид

приращение аргумента приращение функции производная функции примеры (3)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Переменную   Δx   называют приращением аргумента,  а разность

f (x + Δx) – f (x)

называют приращением функции   f (x) в точке   x ,   соответствующим приращению аргумента   Δx,   и обозначают  Δf .

Таким образом,

Δf = f (x + Δx) – f (x) (4)

Используя определения приращения аргумента и приращения функции, формулу (3) можно переписать так:

приращение аргумента приращение функции производная функции примеры (5)

В соответствии с этой формулой производную функции    f (x)   в точке   x   называют пределом отношения приращения функции к приращению аргумента в точке   x ,   когда приращение аргумента стремится к нулю.

ПРИМЕР 1. Вывести формулу для производной функции   y = x2 .

РЕШЕНИЕ. Из формулы (3) получаем:

приращение аргумента приращение функции производная функции примеры

ОТВЕТ. приращение аргумента приращение функции производная функции примеры

Непрерывность функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функцию   y = f (x)   называют непрерывной в точке   x0 ,   если выполнено равенство

Непрерывность функции примеры (6)

Другими словами, функция   (x)   непрерывна в точке   x0   тогда и только тогда, когда выполнено равенство

Непрерывность функции примеры (7)

ПРИМЕР 2. Доказать, что функция   y = x3   непрерывна в любой точке   x ,   где Непрерывность функции примеры.

РЕШЕНИЕ. Выберем произвольную точку   x,   где Непрерывность функции примеры, и воспользуемся формулой сокращенного умножения «куб суммы»:

Непрерывность функции примеры

Соотношение (7) выполнено, что и завершает решение примера 2.

ПРИМЕР 3. Доказать, что функция

Непрерывность функции примеры (8)

разрывна (не является непрерывной) в точке   x = 0 .

РЕШЕНИЕ. Поскольку в точке   x = 0

Непрерывность функции примеры

причем

Непрерывность функции примеры

то соотношение (7) в точке   x = 0   не выполняется. Таким образом, функция (8) является разрывной в точке   x = 0 .

Доказано.

Для наглядности приведем график функции (8) (рис. 1).

Непрерывность функции примеры

Рис.1

ЗАМЕЧАНИЕ. Если в точке   x = x0   у функции    f (x)   существует производная, то функция    f (x)   непрерывна в точке  x0 .

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: если функция    f (x)   непрерывна в точке   x0 ,   то отсюда вовсе не следует, что в этой точке у функции должна существовать производная. Примером является функция    f (x) = |x|   (модуль   x), которая непрерывна в точке   x = 0 ,   но у нее не существует производной в этой точке.

Близкие по тематике разделы сайта

С материалами, связанными с дифференцированием функций и применением производных к исследованию поведения функций, можно также ознакомиться в учебном пособии «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»

Исследование функций с помощью производных и примеры построения графиков функций можно посмотреть в учебных пособиях:

на странице  «Учебные материалы по математическому анализу для студентов МФТИ (1 курс, 1 семестр)».

© «Резольвента - учебные материалы», 2009-2024 

Rambler's Top100  Рейтинг@Mail.ru

Метрика Яндекса
 Яндекс.Метрика