Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.
К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:
Замечание. Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения», относятся к типу «Трехчленные уравнения».
Трёхчленными уравнениями называют уравнения вида
a f 2(x)+ b f (x) + c = 0, | (1) |
а также уравнения вида
(2) |
где a, b, c – заданные числа, а f (x) – некоторая функция.
Для того, чтобы решить трехчленное уравнения вида (1), обозначим
y = f (x), | (3) |
тогда уравнение (1) станет квадратным уравнением относительно переменной y :
ay2 + by + c = 0 . | (4) |
Затем найдем корни уравнения (4), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (3), решим полученное уравнение относительно x .
Для того, чтобы решить трехчленное уравнение вида (2), сначала введем обозначение (3), а затем умножим полученное уравнение на знаменатель. В результате уравнение (2) примет вид (4), а схема решения уравнения (4) уже описана выше.
Покажем, как это осуществляется на примерах.
Пример 1. Решить уравнение
(x2 – 2x)2 – – 2(x2 – 2x) – 3 = 0 . | (5) |
Решение. Если обозначить
y = x2 – 2x , | (6) |
то уравнение (5) превратится в квадратное уравнение
y2 – 2y – 3 = 0 . | (7) |
В первом случае из равенства (6) получаем:
Во втором случае из равенства (6) получаем:
Ответ: – 1, 1, 3.
Пример 2. Решить уравнение
(8) |
Решение. Если обозначить
, | (9) |
то уравнение (8) превратится в квадратное уравнение
которое эквивалентно уравнению
2y2 – 3 y – 2 = 0 . | (10) |
В первом случае из равенства (9) получаем уравнение:
которое, в силу неотрицательности арифметического корня, решений не имеет.
Во втором случае из равенства (9) получаем:
Ответ:
Пример 3. Решить уравнение
(11) |
Решение. Если обозначить
(12) |
то уравнение (11) превратится в квадратное уравнение
y2 – 9 + 3 – 5y = 0 ,
которое эквивалентно уравнению
y2 – 5y – 6 = 0 . | (13) |
y1 = – 1, y2 = 6 .
В первом случае из равенства (12) получаем уравнение:
которое, в силу неотрицательности арифметического корня, решений не имеет.
Во втором случае из равенства (12) получаем:
Ответ:
Пример 4. Решить биквадратное уравнение
x4 – x2 – 12 = 0 . | (14) |
Решение. Если обозначить
y = x2, | (15) |
то уравнение (14) превратится в квадратное уравнение
y2 – y – 12 = 0 . | (16) |
y1 = – 3, y2 = 4 .
В первом случае из равенства (15) получаем уравнение:
x2 = – 3,
которое решений не имеет.
Во втором случае из равенства (15) получаем:
Ответ: – 2, 2 .
Пример 5. Решить уравнение
(17) |
Решение. Если обозначить
y = x2 – 3x, | (18) |
уравнение (17) превращается в уравнение
которое при умножении на y принимает вид
y2 + 2y – 8 = 0 . | (19) |
y1 = – 4, y2 = 2 .
В первом случае из равенства (18) получаем квадратное уравнение:
которое решений не имеет.
Во втором случае из равенства (18) получаем:
Ответ:
Пример 6. Решить уравнение
(20) |
Решение. Если обозначить
, | (21) |
уравнение (20) превращается в уравнение
которое при умножении на y принимает вид
3y2 – 2y – 1 = 0 . | (22) |
В первом случае из равенства (21) получаем уравнение
которое, в силу неотрицательности арифметического корня, решений не имеет.
Во втором случае из равенства (21) получаем:
Ответ: – 2 .
Рассмотрим уравнение
(ax + b)(ax + b + + c)(ax + + b + 2c)(ax + + b + 3c) = d , | (23) |
где a, b, c, d – заданные числа, и заметим, что левая часть этого уравнения представляет собой произведение четырёх последовательных членов арифметической прогрессии, первый член которой равен ax+b, а разность равна c.
Схема решения уравнений вида (23) заключается в следующем.
Сначала обозначим
y = ax + b. | (24) |
Тогда уравнение (23) примет вид:
y (y + c)(y + + 2c)(y + 3c) = d . | (25) |
Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (25) следующим образом:
[y (y + 3c)][(y + + c)(y + 2c)] = d . | (26) |
Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (26), то получим:
[y2 + 3cy][y2 + + 3cy + 2c2] = d . | (27) |
Если теперь в уравнении (27) обозначить
z = y2 + 3cy , | (28) |
то уравнение (27) станеи квадратным уравнением
z2 + 2c2 z – d = 0 . | (29) |
Для того, чтобы найти корни уравнения (23), остаётся решить уравнение (29), затем для каждого корня уравнения (29) решить уравнение (28) относительно y , а затем в каждом из полученных случаев решить уравнение (24) относительно x .
Пример 7 . Решить уравнение
(2x + 3)(2x + 5)(2x + + 7)(2x + 9) = 384 . | (30) |
Решение.Если обозначить
y = 2x + 3, | (31) |
уравнение (30) превращается в уравнение
y (y + 2)(y + + 4)(y + 6) = 384 . | (32) |
Перегруппируем сомножители в левой части уравнения (32):
[y (y + 6)][(y + + 2)(y + 4)] = 384 . | (33) |
Если раскрыть круглые скобки внутри каждой квадратной скобки из левой части уравнения (33), то уравнение (33) примет вид:
[y2 + 6y][y2 + + 6y + 8] = 384 . | (34) |
Если теперь обозначить
z = y2 + 6y , | (35) |
то уравнение (34) станет квадратным уравнением
z2 + 8 z – 384 = 0 . | (36) |
z1 = – 24, z2 = 16 .
В первом случае из равенства (35) получаем уравнение:
которое корней не имеет.
Во втором случае из равенства (35) получаем:
В первом из этих случаев, из равенства (31) получаем:
Во втором случае из равенства (31) получаем:
Ответ:
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |