Треугольник Паскаля
Для того, чтобы получить треугольник Паскаля, перепишем Таблицу 1 из раздела «Формулы сокращенного умножения: степень суммы и степень разности» в следующем виде (Таблица П.):
Таблица П. – Натуральные степени бинома x + y
| № | Степень | Разложение в сумму одночленов |
| 0 | (x + y)0 = | 1 |
| 1 | (x + y)1 = | 1x + 1y |
| 2 | (x + y)2 = | 1x2 + 2xy + 1y2 |
| 3 | (x + y)3 = | 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3 |
| 4 | (x + y)4 = | 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4 |
| 5 | (x + y)5 = | 1x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + 1y5 |
| 6 | (x + y)6 = | 1x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + + 15x2y4 + 6xy5 + 1y6 |
| … | … | … |
Теперь, воспользовавшись третьим столбцом Таблицы П., составим следующую Таблицу - Треугольник Паскаля:
Степень 0: (x + y)0 = Разложение в сумму одночленов: 1 |
Степень 1: (x + y)1 = Разложение в сумму одночленов: 1x + 1y |
Степень 2: (x + y)2 = Разложение в сумму одночленов: 1x2 + 2xy + 1y2 |
Степень 3: (x + y)3 = Разложение в сумму одночленов: 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3 |
Степень 4: (x + y)4 = Разложение в сумму одночленов: 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + |
Степень 5: (x + y)5 = Разложение в сумму одночленов: 1x5 + 5x4y + 10x3y2 + |
Степень 6: (x + y)6 = Разложение в сумму одночленов: 1x6 + 6x5y + 15x4y2 + |
… |
Теперь, записыая только коэффициенты разложений степеней бинома в сумму одночленов, получим следующую Таблицу - Треугольник Паскаля:
Таблица - Треугольник Паскаля
| № | Треугольник Паскаля |
| 0 | 1 |
| 1 | 1 1 |
| 2 | 1 2 1 |
| 3 | 1 3 3 1 |
| 4 | 1 4 6 4 1 |
| 5 | 1 5 10 10 5 1 |
| 6 | 1 6 15 20 15 6 1 |
| … | … |
На всякий случай напомним, что Блез Паскаль – это знаменитый физик и математик, живший во Франции более трех веков назад.
В треугольнике Паскаля каждая строка соответствует строке с тем же номером в Таблице П. Однако в каждой строке треугольника Паскаля, в отличие от Таблицы П., записаны только коэффициенты разложения в сумму одночленов соответствующей степени бинома x + y .
Заполнив сначала строки треугольника Паскаля с номерами 0 и 1, рассмотрим строки с номерами 2 и далее.
Основным свойством треугольника Паскаля, позволяющим последовательно, начиная со строки с номером 2, заполнять его строки, является следующее свойство:
Каждая из строк, начиная со строки с номером 2, во-первых, начинается и заканчивается числом 1, а, во-вторых, между числами 1 стоят числа, каждое из которых равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке.
Действительно, число 2, стоящее в строке с номером два, равно сумме чисел 1 плюс 1, стоящих в первой строке. Точно так же, числа 3 и 3, стоящие в строке с номером три, равны соответственно сумме чисел 1 плюс 2 и сумме чисел 2 плюс 1, стоящих во второй строке.
Также и для других строк.
Таким образом, свойство треугольника Паскаля позволяет, заполнив одну из строк, легко заполнить и следующую за ней, т.е. получить необходимые коэффициенты разложения в сумму одночленов следующей степени бинома x + y .
Пример. Написать разложение вида:
(x + y)7 .
Решение. Воспользовавшись строкой треугольника Паскаля с номером 6 и применив основное свойство треугольника Паскаля, получим строку с номером 7:
| 6 | 1 6 15 20 15 6 1 |
| 7 | 1 7 21 35 35 21 7 1 |
Следовательно,
(x + y)7 = x7 + 7x6y +
+ 21x5y2 + 35x4y2 +
+ 35x3y4 +
+ 21x2y5 + 7xy6 + y7 .
На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
| До ЕГЭ по математике осталось | |||
| дней | часов | минут | секунд |
|