Справочник по математике

Алгебра

Последовательности чисел

Геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

      Определение 1. Числовую последовательность

b₁ ,  b₂ , … b_k , …

все члены которой отличны от нуля, называют геометрической прогрессией, если справедливы равенства

      Определение 2. Если последовательность чисел

b₁ ,  b₂ , … b_k , …

является геометрической прогрессией, то число  q , определенное формулой

называют знаменателем этой геометрической прогрессии.

      Из определений 1 и 2 следует, что для того, чтобы задать геометрическую прогрессию, нужно знать два числа, например, первый член геометрической прогрессии b₁ и знаменатель геометрической прогрессии   q . Если числа   b₁   и   q   известны, то все остальные члены прогрессии можно найти по формулам:

      По этой причине многие задачи на геометрическую прогрессию удобно решать при помощи составления системы уравнений для определения чисел   b₁   и   q.

      Из формул (1) вытекает общая формула

позволяющая по любому номеру   k   вычислить член b_k  геометрической прогрессии, зная первый член и знаменатель прогрессии. Эта формула носит название формулы общего члена геометрической прогрессии.

      Из формулы (2) вытекает утверждение, называемое характеристическим свойством геометрической прогрессии. Это свойство формулируется так: - «Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению своих соседних членов». Таким образом, характеристическое свойство геометрической прогрессии утверждает, что при справедливо равенство

(3)

      В случае, когда

  b₁ > 0   и   q > 0  

все члены геометрической прогрессии будут положительными, и формулу (3) можно переписать в другом виде:

(4)

      Равенство (4) означает, что каждый член такой геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому своих соседних членов.

      Если для суммы первых   k   членов геометрической прогрессии ввести обозначение

S_k = b₁ + b₂ + … + b_k  ,      
k = 1, 2, 3, …

то, воспользовавшись равенствами (1), получаем

q S_k =
= b₁q + b₂q + … + b_k q =
= b₂ + b₃ + … + b_{k +1} .

      Следовательно,

S_k – q S_k = b₁ – b_{k +1} .

      Таким образом , при будет справедливо равенство

которое называется формулой для суммы первых k членов геометрической прогрессии.

      В случае, когда   q = 1, все члены геометрической прогрессии равны, что не представляет особого интереса.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

      Определение 3. Геометрическую прогрессию называют бесконечно убывающей, если её знаменатель удовлетворяет неравенству

  | q | < 1 .

      В этом случае выполнено равенство

а величину  S называют суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

      Более подробно с понятием предела числовой последовательности можно ознакомиться в в разделе «Пределы числовых последовательностей» нашего справочника.

      С примерами решений различных задач по теме «Геометрическая прогрессия» можно ознакомиться в нашем учебном пособии «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

   На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.