Числа Фибоначчи

Справочник по математике для школьников алгебра определение последовательности ФибоначчиОпределение последовательности Фибоначчи
Справочник по математике для школьников алгебра вывод формулы для общего члена последовательности ФибоначччиВывод формулы для общего члена последовательности Фибоначччи
Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи

Определение чисел Фибоначчи

      Последовательностью (числами) Фибоначчи называют возвратную последовательность 2-го порядка, определяемую рекуррентной формулой

xn = xn – 1 + xn – 2 ,       n > 2(1)

с начальными условиями

x1 = 1,       x2 = 1 .(2)

      Другими словами, последовательность Фибоначчи - это такая последовательность, у которой первые два члена равны 1, а каждый член, начиная с третьего члена, равен сумме двух предыдущих членов.

      Таким образом, числа

1,  1,  2,  3,  5,  8,  13,  21,  34,  55

являются первыми десятью членами последовательности Фибоначчи.

      Замечание. Определения возвратной последовательности, рекуррентной формулы, характеристического уравнения и формулы для общего решения рекуррентных уравнений приведены в разделе «Возвратные последовательности: рекуррентная формула, характеристическое уравнение» нашего справочника.

Вывод формулы общего члена последовательности Фибоначчи

      Нашей целью является вывод формулы общего члена последовательности Фибоначчи. Чтобы получить эту формулу, будем действовать в соответствии со схемой, изложенной в разделе «Возвратные последовательности: вывод формулы общего члена».

  1. Характеристическое уравнение для последовательности (1) имеет вид

    λ2 – λ – 1 = 0 .

    Найдем его корни:

    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи
    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи
  2. Поскольку корни характеристического уравнения вещественные и различные, то общее решение рекуррентного уравнения (1) имеет вид

    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи
    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи
    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи

    где c1 и c2 произвольные действительные числа.

  3. Найдем теперь значения произвольных постоянных c1 и c2 так, чтобы для последовательности

    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи
    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи
    (3)

    выполнялись начальные условия (2). Это означает, что числа c1 и c2 должны удовлетворять следующей системе из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

  4. Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи
    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи
  5. Решение этой системы имеет вид:
    Решим полученную систему уравнений:
    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи
    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи
    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи

          Для того, чтобы решить последнюю систему, вычтем первое уравнение из второго уравнения, оставив первое уравнение без изменений:

    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи
    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи
    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи

    Посмотреть, как получено это решение можно, включив эту страницу на стационарном компьютере или планшете.

  6. Подставляя найденные значения произвольных постоянных c1 и c2 в формулу (3), получаем искомую формулу общего члена последовательности Фибоначчи:

    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи
    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи
    Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи

      Замечание. Число

Числа Фибоначчи последовательность Фибоначчи

входящее в формулу общего члена последовательности Фибоначчи, является золотым отношением.

 

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд








НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика