Справочник по математике

Геометрия (Стереометрия)

Прямые и плоскости в пространстве

Прямая, перпендикулярная к плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Расстояние от точки до плоскости

Прямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Свойства перпендикуляра к плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Прямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

      Определение. Прямой, перпендикулярной к плоскости, называют такую прямую, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей на этой плоскости.

      Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в некоторой плоскости, то прямая перпендикулярна к этой плоскости.

      Доказательство. Рассмотрим сначала следующий случай.

      Предположим, что прямая  p, пересекающая плоскость  α  в точке  O,  перпендикулярна к прямым  a  и   b, лежащим на плоскости  α  и проходящим через точку O. Докажем, что в этом случае прямая  p перпендикулярна любой другой прямой  c, лежащей на плоскости  α  и проходящей через точку  O.

      С этой целью отметим на прямой  a  произвольную точку  A, а на прямой  b  произвольную точку  B  (рис. 1).

Рис.1

      Проведем прямую  AB  и обозначим буквой  C  точку пересечения прямых  AB  и  c. Отметим на прямой  p  произвольную точку  P  и обозначим символом  P'  точку, расположенную на прямой   p  так, чтобы точка  O  оказалась серединой отрезка  PP'. Поскольку прямые OA  и OB   являются серединными перпендикулярами к отрезку  PP', то справедливы равенства

AP = AP',       BP = BP'

      Из этих равенств, а также поскольку отрезок  AB  является общей стороной треугольников  APB  и  AP'B, заключаем, что в силу признака равенства треугольников по трем сторонам трегольники  APB  и  AP'B  равны. Следовательно,

      Отсюда в силу признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними заключаем, что трегольник  PBС  равен треугольнику   P'BС   (BP = BP', , сторона   BС  - общая). Следовательно,

СP = СP',

откуда вытекает, что точка  С  лежит на серединном перпендикуляре к отрезку  PP'.

      Таким образом, прямые   PO   и   c   перпендикулярны, что и требовалось доказать в рассматриваемом случае.

      Теперь перейдем к общему случаю.

      Предположим, что что прямая  p, пересекающая плоскость  α  в точке  O,   перпендикулярна к прямым   a   и   b,   лежащим на плоскости   α .  Докажем, что в этом случае прямая   p   перпендикулярна любой другой прямой   c,   лежащей плоскости   α   (рис. 2).

Рис.2

      С этой целью проведем через точку O прямые   a',   b'   и   c'   соответственно параллельные прямым параллельные прямым   a,   b   и   c  .

      По определению угла между скрещивающимися прямыми прямая будет перпендикулярна прямым   a'   и   b',   проходящим через точку   O,   и мы оказываемся в условиях уже рассмотренного случая.

      Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости завершено.

      Замечание. Прямую, перпендикулярную к плоскости, часто называют перпендикуляром к плоскости. Точку перечения прямой, перпендикулярной к плоскости, с самой плоскостью называют основанием перпендикуляра.

      Так, например, на рисунке 1 точка   O   является основанием перпендикуляра, опущенного из точки   P   на плоскость   α .

Свойства перпендикуляра к плоскости

      Перечислим следующие свойства перпендикуляра к плоскости, доказательства которых мы оставляем читателю в качестве полезных упражнений.

Рисунок	Свойство
	Из любой точки можно опустить перпендикуляр на любую плоскость. Если точка   O   - основание перпендикуляра, опущенного из точки   P   на плоскость   α,  то длину отрезка   PO   называют расстоянием от точки   P   до плоскости   α.
	Два любых перпендикуляра к плоскости параллельны
	Плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны.
	Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
	Если плоскости α и β перпендикулярны, а точка  P лежит на плоскости β, то и перпендикуляр PO, опущенный из точки   P на плоскость α , также лежит в плоскости β.

Свойство: Из любой точки можно опустить перпендикуляр на любую плоскость. Если точка O - основание перпендикуляра, опущенного из точки   P   на плоскость   α, то длину отрезка PO называют расстоянием от точки   P   до плоскости   α.

Свойство: Два любых перпендикуляра к плоскости параллельны параллельны

Свойство: Плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны.

Свойство: Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Свойство: Если плоскости   α   и   β   перпендикулярны, а точка   P   лежит на плоскости   β,   то и перпендикуляр   PO,   опущенный из точки   P   на плоскость   α ,   также лежит в плоскости   β.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.