Прямая, перпендикулярная к плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Расстояние от точки до плоскости

прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости свойства перпендикуляра к плоскости расстояние от точки до плоскостиПрямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости
прямая перпендикулярная к плоскости признак перпендикулярности прямой и плоскости свойства перпендикуляра к плоскости расстояние от точки до плоскостиСвойства перпендикуляра к плоскости. Расстояние от точки до плоскости
ортогональная проекция прямой на плоскость угол между прямой и плоскостью теорема о трех перпендикулярах обратная теорема

Прямая, перпендикулярная к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

      Определение. Прямой, перпендикулярной к плоскости, называют такую прямую, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей на этой плоскости.

      Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в некоторой плоскости, то прямая перпендикулярна к этой плоскости.

      Доказательство. Рассмотрим сначала следующий случай.

      Предположим, что прямая  p, пересекающая плоскость  α  в точке  O,  перпендикулярна к прямым  и   b, лежащим на плоскости  α  и проходящим через точку O. Докажем, что в этом случае прямая  p перпендикулярна любой другой прямой  c, лежащей на плоскости  α  и проходящей через точку  O.

      С этой целью отметим на прямой  a  произвольную точку  A, а на прямой  произвольную точку  B  (рис. 1).

Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Рис.1

      Проведем прямую  AB  и обозначим буквой  C  точку пересечения прямых  AB  и  c. Отметим на прямой  p  произвольную точку  P  и обозначим символом  P'  точку, расположенную на прямой   p  так, чтобы точка  O  оказалась серединой отрезка  PP'. Поскольку прямые OA  и OB   являются серединными перпендикулярами к отрезку  PP', то справедливы равенства

AP = AP',       BP = BP'

      Из этих равенств, а также поскольку отрезок  AB  является общей стороной треугольников  APB  и  AP'B, заключаем, что в силу признака равенства треугольников по трем сторонам трегольники  APB  и  AP'B  равны. Следовательно,

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

      Отсюда в силу признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними заключаем, что трегольник  PBС  равен треугольнику   P'BС   (BP = BP'Признак перпендикулярности прямой и плоскости, сторона     - общая). Следовательно,

СP = СP',

откуда вытекает, что точка  С  лежит на серединном перпендикуляре к отрезку  PP'.

      Таким образом, прямые   PO   и   c   перпендикулярны, что и требовалось доказать в рассматриваемом случае.

      Теперь перейдем к общему случаю.

      Предположим, что что прямая  p, пересекающая плоскость  α  в точке  O,   перпендикулярна к прямым   a   и   b,   лежащим на плоскости   α .  Докажем, что в этом случае прямая   p   перпендикулярна любой другой прямой   c,   лежащей плоскости   α   (рис. 2).

Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Рис.2

      С этой целью проведем через точку O прямые   a',   b'   и   c'   соответственно параллельные прямым параллельные прямым   a,   b   и   c  .

      По определению угла между скрещивающимися прямыми прямая будет перпендикулярна прямым   a'   и   b',   проходящим через точку   O,   и мы оказываемся в условиях уже рассмотренного случая.

      Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости завершено.

      Замечание. Прямую, перпендикулярную к плоскости, часто называют перпендикуляром к плоскости. Точку перечения прямой, перпендикулярной к плоскости, с самой плоскостью называют основанием перпендикуляра.

      Так, например, на рисунке 1 точка   O   является основанием перпендикуляра, опущенного из точки   P   на плоскость   α .

Свойства перпендикуляра к плоскости

      Перечислим следующие свойства перпендикуляра к плоскости, доказательства которых мы оставляем читателю в качестве полезных упражнений.

РисунокСвойство
свойства перпендикуляра к плоскостиИз любой точки можно опустить перпендикуляр на любую плоскость. Если точка   O   - основание перпендикуляра, опущенного из точки   P   на плоскость   α,  то длину отрезка   PO   называют расстоянием от точки   P   до плоскости   α.
свойства перпендикуляра к плоскостиДва любых перпендикуляра к плоскости параллельны
свойства перпендикуляра к плоскостиПлоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны.
свойства перпендикуляра к плоскостиЕсли одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
свойства перпендикуляра к плоскостиЕсли плоскости α и β перпендикулярны, а точка  P лежит на плоскости β, то и перпендикуляр PO, опущенный из точки   P на плоскость α , также лежит в плоскости β.
свойства перпендикуляра к плоскости
свойства перпендикуляра к плоскости
свойства перпендикуляра к плоскости

Свойство:
Из любой точки можно опустить перпендикуляр на любую плоскость. Если точка O - основание перпендикуляра, опущенного из точки   P   на плоскость   α, то длину отрезка PO называют расстоянием от точки   P   до плоскости   α.

свойства перпендикуляра к плоскости
свойства перпендикуляра к плоскости
свойства перпендикуляра к плоскости

Свойство:
Два любых перпендикуляра к плоскости параллельны параллельны

свойства плоскостей перпендикулярных к прямой
свойства плоскостей перпендикулярных к прямой
свойства плоскостей перпендикулярных к прямой

Свойство:
Плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны.

свойства перпендикуляра к плоскости
свойства перпендикуляра к плоскости
свойства перпендикуляра к плоскости

Свойство:
Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

свойства перпендикуляра к плоскости
свойства перпендикуляра к плоскости
свойства перпендикуляра к плоскости

Свойство:
Если плоскости   α   и   β   перпендикулярны, а точка   P   лежит на плоскости   β,   то и перпендикуляр   PO,   опущенный из точки   P   на плоскость   α ,   также лежит в плоскости   β.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ


НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика