![]() |
![]() |
Определение. Прямой, перпендикулярной к плоскости, называют такую прямую, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей на этой плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в некоторой плоскости, то прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Доказательство. Рассмотрим сначала следующий случай.
Предположим, что прямая p, пересекающая плоскость α в точке O, перпендикулярна к прямым a и b, лежащим на плоскости α и проходящим через точку O. Докажем, что в этом случае прямая p перпендикулярна любой другой прямой c, лежащей на плоскости α и проходящей через точку O.
С этой целью отметим на прямой a произвольную точку A, а на прямой b произвольную точку B (рис. 1).
Рис.1
Проведем прямую AB и обозначим буквой C точку пересечения прямых AB и c. Отметим на прямой p произвольную точку P и обозначим символом P' точку, расположенную на прямой p так, чтобы точка O оказалась серединой отрезка PP'. Поскольку прямые OA и OB являются серединными перпендикулярами к отрезку PP', то справедливы равенства
AP = AP', BP = BP'
Из этих равенств, а также поскольку отрезок AB является общей стороной треугольников APB и AP'B, заключаем, что в силу признака равенства треугольников по трем сторонам трегольники APB и AP'B равны. Следовательно,
Отсюда в силу признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними заключаем, что трегольник PBС равен треугольнику P'BС (BP = BP', , сторона BС - общая). Следовательно,
СP = СP',
откуда вытекает, что точка С лежит на серединном перпендикуляре к отрезку PP'.
Таким образом, прямые PO и c перпендикулярны, что и требовалось доказать в рассматриваемом случае.
Теперь перейдем к общему случаю.
Предположим, что что прямая p, пересекающая плоскость α в точке O, перпендикулярна к прямым a и b, лежащим на плоскости α . Докажем, что в этом случае прямая p перпендикулярна любой другой прямой c, лежащей плоскости α (рис. 2).
Рис.2
С этой целью проведем через точку O прямые a', b' и c' соответственно параллельные прямым параллельные прямым a, b и c .
По определению угла между скрещивающимися прямыми прямая будет перпендикулярна прямым a' и b', проходящим через точку O, и мы оказываемся в условиях уже рассмотренного случая.
Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости завершено.
Замечание. Прямую, перпендикулярную к плоскости, часто называют перпендикуляром к плоскости. Точку перечения прямой, перпендикулярной к плоскости, с самой плоскостью называют основанием перпендикуляра.
Так, например, на рисунке 1 точка O является основанием перпендикуляра, опущенного из точки P на плоскость α .
Перечислим следующие свойства перпендикуляра к плоскости, доказательства которых мы оставляем читателю в качестве полезных упражнений.
Рисунок | Свойство |
![]() | Из любой точки можно опустить перпендикуляр на любую плоскость. Если точка O - основание перпендикуляра, опущенного из точки P на плоскость α, то длину отрезка PO называют расстоянием от точки P до плоскости α. |
![]() | Два любых перпендикуляра к плоскости параллельны |
![]() | Плоскости, перпендикулярные к одной прямой, параллельны. |
![]() | Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. |
![]() | Если плоскости α и β перпендикулярны, а точка P лежит на плоскости β, то и перпендикуляр PO, опущенный из точки P на плоскость α , также лежит в плоскости β. |
![]() ![]() ![]() Свойство: |
![]() ![]() ![]() Свойство: |
![]() ![]() ![]() Свойство: |
![]() ![]() ![]() Свойство: |
![]() ![]() ![]() Свойство: |
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |