Вневписанные окружности

      Теорема 1. В любом треугольнике биссектрисы двух внешних углов и биссектриса внутреннего угла, не смежного с ними, пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и продолжим, например, стороны BA и BC за точки A и C соответственно (рис.1).

Серединный перпендикуляр свойства
Серединный перпендикуляр свойства

Рис.1

      Проведём биссектрисы углов DAC и ECA, которые являются внешними углами треугольника ABC. Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O. Докажем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC, который является внутренним углом треугольника ABC, не смежным с внешними углами DAC и ECA. С этой целью опустим из точки O перпендикуляры OF, OG и OH на прямые AB, AC и BC соответственно. Поскольку AO – биссектриса угла DAC, то справедливо равенство:

OF = OG,

      Поскольку CO – биссектриса угла ACE, то справедливо равенство:

OF = OG,

      Следовательно, справедливо равенство

OG = OH,

откуда вытекает, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC, что и требовалось доказать.

      Замечание 1. В ходе доказательства теоремы 1 мы установили, что справедливы равенства

OF = OG = OH,

откуда вытекает, что точки F,G и H лежат на одной окружности с центром в точке O.

      Определение. Окружность называют окружностью, вневписанной в треугольник, или вневписанной окружностью, если она касается касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон (рис.2).

Серединный перпендикуляр свойства
Серединный перпендикуляр свойства

Рис.2

      Замечание 2. У каждого треугольника существуют три вневписанных окружности. На рисунке 2 изображена одна из них.

      Замечание 3. Центр вневписанной окружности, изображенной на рисунке 2, лежит на биссектрисе угла B, а окружность касается стороны b. Для удобства обозначений и терминологии будем называть эту окружность вневписанной окружностью, касающейся стороны b, и обозначать её радиус символом   rb .

      Теорема 2. Пусть вневписанная окружность касается стороны AC треугольника ABC. Тогда отрезки касательных касательных от вершины B до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.

      Доказательство. Снова рассмотрим рисунок 2 и докажем, что выполнено равенство

Радиус вневписанной окружности

где a, b, c – стороны треугольника ABC. Действительно, отрезки AG и AF равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки A. Отрезки CG и CH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки C. Отрезки BF и BH равны, как отрезки касательных к окружности, выходящих из точки B. Отсюда получаем:

Радиус вневписанной окружности
Радиус вневписанной окружности
Радиус вневписанной окружности

где буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC. Теорема 2 доказана.

      Теорема 3. Радиус вневписанной окружности, касающейся стороны b, вычисляется по формуле

Радиус вневписанной окружности

где буквой S обозначена площадь треугольника ABC, а буквой p обозначен полупериметр треугольника ABC.

      Доказательство. Снова рассмотрим рисунок 2 и заметим, что выполнены равенства

Радиус вневписанной окружности
Радиус вневписанной окружности

      Следовательно, справедливо равенство

Радиус вневписанной окружности

что и требовалось доказать.

      Следствие. Радиусы двух других вневписанных в треугольник ABC окружностей вычисляются по формулам:

Радиус вневписанной окружности

      Теорема 4. Если обозначить буквой r радиус вписанной в треугольник ABC окружности, то будет справедлива формула:

Радиус вневписанной окружности

      Доказательство. Поскольку

Радиус вневписанной окружности
Радиус вневписанной окружности

то

Радиус вневписанной окружности
Радиус вневписанной окружности

      Складывая эти формулы и воспользовавшись формулой для радиуса вписанной окружности

Формулы для радиуса  окружности вписанной в треугольник,

получим

Радиус вневписанной окружности
Радиус вневписанной окружности

что и требовалось доказать.

      Теорема 5. Площадь треугольника можно вычислить по формуле

Радиус вневписанной окружности

      Доказательство. Перемножим формулы

Радиус вневписанной окружности
Радиус вневписанной окружности

и воспользуемся формулой Герона:

Радиус вневписанной окружности
Радиус вневписанной окружности

что и требовалось доказать.

      Теорема 6. Если обозначить буквой R радиус описанной около треугольника ABC окружности, то будет справедлива формула:

ra + rb + rc – r = 4R .

      Доказательство. Воспользовавшись формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, а также формулой Герона, получим

Радиус вневписанной окружности
Радиус вневписанной окружности
Радиус вневписанной окружности

      Преобразуем выражение, стоящее в квадратной скобке:

Радиус вневписанной окружности
Радиус вневписанной окружности
Радиус вневписанной окружности

      В результате получаем равенство

Радиус вневписанной окружности

      Поскольку радиус описанной окружности удовлетворяет равенству

Формула для радиуса описанной окружности

то справедлива формула

ra + rb + rc – r = 4R ,

что и требовалось доказать.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ОГЭ
Демонстрационные варианты ЕГЭ



НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика