Длина ортогональной проекции отрезка.
Площадь ортогональной проекции многоугольника

Длина ортогональной проекции отрезка площадь проекции треугольника многоугольникаДлина проекции отрезка.
Длина ортогональной проекции отрезка площадь проекции треугольника многоугольникаПлощадь проекции треугольника.
Длина ортогональной проекции отрезка площадь проекции треугольника многоугольникаПлощадь проекции многоугольника.
Длина ортогональной проекции отрезка площадь проекции треугольника многоугольника

Длина ортогональной проекции отрезка

      Рассмотрим сначала двугранный угол   φ ,   образованный полуплоскостями   α   и   β ,   пересекающимися по прямой   AB ,   и отрезок   CD ,   лежащий в полуплоскости   β   и перпендикулярный прямой   AB   (рис. 1).

Длина ортогональной проекции отрезка
Длина ортогональной проекции отрезка
Длина ортогональной проекции отрезка

Рис.1

      На этом рисунке символом   D'   обозначена ортогональная проекция точки   D   на плоскость   α .   Отрезок   CD'   является проекцией отрезка   CD   на плоскость   α .

      Из треугольника   CDD'   можно найти длину стороны   CD',   если известна длина отрезка   CD   и угол   φ:

Длина ортогональной проекции отрезка(1)

      Теперь рассмотрим тот же двугранный угол, но отрезок   CD   расположим на полуплоскости   β   так, что прямая   CD   параллельна параллельна ребру   двугранного угла   AB   (рис. 2).

Длина ортогональной проекции отрезка
Длина ортогональной проекции отрезка
Длина ортогональной проекции отрезка

Рис.2

      На рисунке 2 символами   C'   и   D'   обозначены проекции точек   C   и   D   на плоскость   α .

      Отрезок   C'D'   является проекцией отрезка   CD   на плоскость   α .   Поскольку   CDD'C'   – прямоугольник, то длина стороны   CD   равна длине стороны   C'D' ,   то есть

CD = C'D' .(2)

      Теперь рассмотрим наиболее сложный случай, когда отрезок   CD   длины   a   расположен на полуплоскости   β   так, что вершина   C   лежит на прямой   AB,   а угол Длина ортогональной проекции отрезка(рис. 3).

Длина ортогональной проекции отрезка
Длина ортогональной проекции отрезка
Длина ортогональной проекции отрезка

Рис.3

      Обозначим буквой   E   основание перпендикуляра, опущенного в плоскости   β   из точки   D   на прямую   AB .   Обозначим через   D'   проекцию точки   D   на плоскость   α .   Тогда из прямоугольных треугольников   CDE   и   DED'   получаем следующие равенства:

DE = a sin γ,
CE = a cos γ,
ED' = DE cos φ =
=
a sin γ cos φ ,
Длина ортогональной проекции отрезка
Длина ортогональной проекции отрезка

      Итак, длина проекции отрезка   CD   равна

Длина ортогональной проекции отрезка(3)

      Замечание 1. Мы оставляем читателю в качестве полезного упражнения возможность найти длину проекции отрезка   CD   в случае, когда его концы не лежат на ребре   AB   двугранного угла.

      Замечание 2. При   γ = 90°   отрезок   CD   перпендикулярен ребру   AB   двугранного угла, и формула (3) приобретает вид (1). При   γ = 0°   отрезок   CD   параллелен ребру   AB   двугранного угла, и формула (3) приобретает вид (2).

Площадь проекции треугольника

      Рассмотрим треугольник   CDE,   расположенный в полуплоскости   β   так, что сторона   CE   лежит на ребре   AB   двугранного угла (рис. 4).

Площадь проекции треугольника
Площадь проекции треугольника
Площадь проекции треугольника

Рис.4

      Буквой   F   обозначено основание перпендикуляра, опущенного из точки   D   на прямую   AB .   Символом   D'   обозначена проекция точки   D   на плоскость   α .

      Треугольник   CD'E   является проекцией треугольника   CDE   на плоскость   α .   Площадь треугольника   CDE   находится по формуле:

Площадь проекции треугольника

      Площадь треугольника   CD'E   находится по формуле:

Площадь проекции треугольника

      В силу формулы (1)

Площадь проекции треугольника

      Следовательно,

Площадь проекции треугольника
Площадь проекции треугольника
(4)

      Теперь рассмотрим треугольник   CDE,   расположенный в полуплоскости   β   так, что на ребре   AB   двугранного угла лежит только вершина   C   (рис. 5).

Площадь проекции треугольника
Площадь проекции треугольника
Площадь проекции треугольника

Рис.5

      Буквой   G   обозначим точку пересечения прямой   DE   с прямой   AB.   Точки   D'   и   E'   – проекции точек   D   и   E   на плоскость   α.   Треугольник   CD'E'   является проекцией треугольника   CDE ,   а треугольник   CE'G   – проекцией треугольника   CEG .   Воспользовавшись формулой (4), получаем

Площадь проекции треугольника
Площадь проекции треугольника
Площадь проекции треугольника

      Таким образом, справедлива формула

Площадь проекции треугольника(5)

      Замечание 3. Формулу (5) мы получили в предположении о том, что точка   C   лежит на ребре   AB   двугранного угла. Небольшое дополнение к приведенному локазательству позволяет отказаться от этого ограничения. Мы оставляем локазательство этого факта читателю в качестве полезного и несложного упражнения.

Площадь проекции многоугольника

      Рассмотрим произвольный выпуклый n – угольник, расположенный в полуплоскости   β,   и проведем все диагонали многоугольника из вершины   A1   (рис. 6).

Площадь проекции многоугольника
Площадь проекции многоугольника
Площадь проекции многоугольника

Рис.6

      В результате многоугольник разбивается на треугольники   A1A2A3, A1A3A4, ... , A1An-1An.   Если обозначить через   A'1, A'2, ... , A'n   проекции точек   A1, A2, ... , An   на плоскость   α ,   то, применяя к каждому из треугольников   A1A2A3, A1A3A4, ... , A1An-1An   формулу (5), получаем формулу для площади проекции многоугольника

Площадь проекции многоугольника(6)

      Таким образом, площадь проекции многоугольника, лежащего в плоскости   β,   на плоскость   α   равна площади этого мноугольника, умноженной на косинус угла между плоскостями.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ




Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»


НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика