![]() |
![]() |
![]() |
Определение 1. Рассмотрим две паралллельные плоскости паралллельные плоскости α и β , прямую p , пересекающую эти плоскости прямую p , пересекающую эти плоскости, и произвольный выпуклый n – угольник A1A2 ... An , лежащий в плоскости α (рис. 1).
Рис.1
Если через каждую точку многоугольника A1A2 ... An провести прямую, параллельную прямой параллельную прямой p , и обозначить символами A'1, A'2, ... , A'n точки пересечения с плоскостью β прямых, параллельных прямой параллельных прямой p и проходящих через точки A1, A2, ... , An, то полученную фигуру A1A2 ... An A'1A'2 ... A'n называют n – угольной призмой (рис.2).
Рис.2
Утверждение 1. Каждый из n четырехугольников
A1A2A'2A'1, A2A3A'3A'2, ... , AnA1A'1A'n
является параллелограммом.
Доказательство. Докажем сначала, что параллелограммом является, например, четырехугольник A1A2A'2A'1. Для этого заметим, что стороны A1A'1 и A2A'2 параллельны по построению. Заметим также,что прямая A1A2 параллельна плоскости параллельна плоскости β , так как лежит в плоскости α , которая параллельна плоскости параллельна плоскости β . Прямая A'1A'2 является линией пересечения плоскости A1A2A'2A'1 с плоскостью β . Из признака параллельности прямой и плоскости следует, что прямая A'1A'2 параллельна прямой A1A2 . Таким образом, у четырехугольника A1A2A'2A'1 противоположные стороны попарно параллельны, то есть A1A2A'2A'1 – параллелограмм.
Для остальных четырехугольников доказательство проводится аналогично.
Определение 2. Параллелограммы
A1A2A'2A'1, A2A3A'3A'2, ... , AnA1A'1A'n
называют боковыми гранями призмы. Совокупность всех боковых граней призмы составляет боковую поверхность призмы.
Определение 3. Многоугольники A1A2 ... An и A'1A'2 ... A'n называют основаниями призмы.
Определение 4. Точки A1, A2, ... , An , A'1, A'2, ... , A'n (вершины многоугольников A1A2 ... An и A'1A'2 ... A'n ) называют вершинами призмы.
Определение 5. Отрезки A1A'1 , A2A'2 , ... , AnA'n называют боковыми ребрами призмы.
Утверждение 2 . Все боковые ребра призмы равны.
Это утверждение непосредственно вытекает из утверждения 1.
Определение 6. Отрезки A1A2 , A2A3 , ... , AnA1 , ... , A'1A'2 , A'2A'3 , ... , A'nA'1 (стороны многоугольников A1A2 ... An и A'1A'2 ... A'n ) называют ребрами оснований призмы.
Замечание 1. В случае, когда не требуется делать специальных уточнений,
![]() | боковые ребра и ребра оснований называют ребрами призмы, |
![]() | боковые грани и основания призмы называют гранями призмы |
![]() | совокупность всех граней призмы (всех боковых граней и оснований) называют полной поверхностью призмы, |
![]() | n – угольные призмы называют призмами. |
Теорема Эйлера . Для любой призмы справедливо равенство:
| + |
| – |
| = | 2 |
| + |
| – |
| = | 2 |
| + |
| – |
– |
| = | 2 |
Доказательство. Заметим, что у n – угольной призмы 2n вершин, n боковых граней, 2 основания, 2n ребер основания и n боковых ребер. Следовательно, у n – угольной призмы (n + 2) грани и 3n ребер.
Поскольку
2n + (n + 2) – 3n = 2
то теорема Эйлера доказана.
Определение 7. Расстояние между плоскостями Расстояние между плоскостями, на которых лежат основания призмы, называют высотой призмы.
Замечание 2. С различными формулами для вычисления объема призмы и площадей боковой и полной поверхности призмы можно ознакомиться в разделе «Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности призмы».
Замечание 3. С определением сечения призмы и способами построения сечений призмы ожно ознакомиться в разделе «Сечения призмы. Перпендикулярные сечения призмы».
Существует следующая классификация призм.
Рис.3
Определение 8. Прямой призмой называют призму, боковые ребра которой перпендикулярны к плоскостям оснований. Призмы, боковые ребра которых не перпендикулярны к плоскостям оснований, называют наклонными призмами.
Замечание 4. Все боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.
Определение 9. Правильной призмой называют прямую призму, основаниями которой служат правильные многоугольники.
Определение 10. Диагональю призмы называют отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.
Призма | Рисунок | Свойства |
Наклонная треугольная призма | ![]() | Боковые ребра AA1, BB1, CC1 не перпендикулярны плоскостям ABС и A1B1C1. |
Прямая треугольная призма | ![]() | Боковые ребра AA1, BB1, CC1 перпендикулярны плоскостям ABС и A1B1C1. ABС – произвольный треугольник. Боковые грани прямой треугольной призмы – прямоугольники. Высота прямой треугольной призмы равна длине бокового ребра. |
Правильная треугольная призма | ![]() | Боковые ребра AA1, BB1, CC1 перпендикулярны плоскостям ABС и A1B1C1. ABС – равносторонний треугольник. Боковые грани правильной треугольной призмы – прямоугольники. Высота правильной треугольной призмы равна длине бокового ребра. |
Наклонная четырехугольная призма | ![]() | Боковые ребра AA1, BB1, CC1, |
Прямая четырехугольная призма | ![]() | Боковые ребра AA1, BB1, CC1, DD1 перпендикулярны плоскостям ABСD и A1B1C1D1. ABСD – произвольный четырехугольник. Боковые грани прямой четырехугольной призмы – прямоугольники. Высота прямой четырехугольной призмы равна длине бокового ребра. |
Правильная четырехугольная призма | ![]() | Боковые ребра AA1, BB1, CC1, DD1 перпендикулярны плоскостям ABСD и A1B1C1D1. ABСD – квадрат. Боковые грани правильной четырехугольной призмы – прямоугольники. Высота правильной четырехугольной призмы равна длине бокового ребра. |
Параллелепипед | ![]() | Наклонная четырехугольная призма, все грани которой паралллелограммы. Противоположные грани параллелепипеда равны. |
Прямой параллелепипед | ![]() | Прямая четырехугольная призма, основания ABСD и A1B1C1D1 которой – параллелограммы. Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра. |
Прямоугольный параллелепипед | ![]() | Прямая четырехугольная призма, основания ABСD и A1B1C1D1 которой – прямоугольники. Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками. |
Правильный параллелепипед | ![]() | Синоним термина «правильная четырехугольная призма» Основания ABСD и A1B1C1D1 – равные квадраты, боковые грани – равные прямоугольники. Высота правильного параллелепипеда равна длине бокового ребра. |
Куб | ![]() | Правильный параллелепипед, у которого все грани равные квадраты. У куба все ребра равны и попарно перпендикулярны. Высота куба равна длине ребра.
|
Наклонная треугольная призма |
![]() Свойства: |
Прямая треугольная призма |
![]() Свойства: |
Правильная треугольная призма |
![]() Свойства: |
Наклонная четырехугольная призма |
![]() ![]() Свойства: |
Прямая четырехугольная призма |
![]() ![]() Свойства: |
Правильная четырехугольная призма |
![]() Свойства: |
Параллелепипед |
![]() ![]() Свойства: |
Прямой параллелепипед |
![]() ![]() Свойства: |
Прямоугольный параллелепипед |
![]() ![]() Свойства: |
Правильный параллелепипед |
![]() Свойства: |
Куб |
![]() Свойства: |
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
До ЕГЭ по математике осталось | |||
дней | часов | минут | секунд |