Занятия будут проходить 1 раз в неделю по 90 минут

Подробности по телефону   (495) 509-28-10

Нам не все равно, как Вы сдадите экзамены!

А Вам?

Справочник по математике

Геометрия (Стереометрия)

Пирамиды

Пирамиды. Правильные пирамиды. Теорема Эйлера. Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды

Пирамиды. Теорема Эйлера для пирамид

Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды

Тетраэдры. Правильные тетраэдры

Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды

Пирамиды

      Рассмотрим произвольную плоскость α , произвольный выпуклый n – угольник   A₁A₂ ... A_n ,   расположенный в этой плоскости, и точку   S ,   не лежащую в плоскости α .

     Определение 1. Пирамидой (n - угольной пирамидой) называют фигуру, образованную отрезками, соединяющими точку  S   со всеми точками многоугольника   A₁A₂ ... A_n   (рис. 1) .

     Замечание 1. Напомним, что многоугольник   A₁A₂ ... A_n   состоит из замкнутой ломаной линии   A₁A₂ ... A_n   и ограниченной ею части плоскости.

Рис.1

      Определение 2.

	Точку S называют вершиной пирамиды.
	Многоугольник   A1A2 ... An   называют основанием пирамиды.
	Точки   A1, A2, ... , An   называют вершинами основания пирамиды.
	Точки   A1 , A2 , ... , An , S   часто называют просто вершинами пирамиды.
	Расстояние от точки   S   до плоскости Расстояние от точки   S   до плоскости α называют высотой пирамиды.
	Отрезки   SA1 , SA2 , ... , SAn   называют боковыми ребрами пирамиды.
	Стороны многоугольника   A1A2 ... An   называют ребрами основания пирамиды.
	Боковые ребра и ребра основания пирамиды часто называют просто ребрами пирамиды.
	Треугольники   SA1A2 , SA2A3 , ... , SAnA1   называют боковыми гранями пирамиды.
	Множество всех боковых граней пирамиды составляет боковую поверхность пирамиды.
	Боковые грани и основание пирамиды часто называют просто гранями пирамиды.
	Полная поверхность пирамиды состоит из основания пирамиды и ее боковой поверхности.

      Теорема Эйлера. Для любой пирамиды справедливо равенство:

      Доказательство. Заметим, что у n - угольной пирамиды   (n + 1)   вершина,   n   боковых граней,   1   основание,   n   ребер основания и   n   боковых ребер. Следовательно, у n - угольной пирамиды   (n + 1)   грань и   2n   ребер.

      Поскольку

(n + 1) + (n + 1) – 2n = 2

то теорема Эйлера доказана.

Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды

     Определение 3. Правильной n - угольной пирамидой (правильной пирамидой)  называют такую n - угольную пирамиду, у которой основанием является правильный n - угольник   A₁A₂ ... A_n , а основанием перпендикуляра, опущенного из точки   S   на плоскость   α ,   является центр правильного n - угольника   A₁A₂ ... A_n   (рис 2).

Рис.2

      Замечание 2. Если центр основания   A₁A₂ ... A_n   правильной пирамиды   SA₁A₂ ... A_n   обозначить буквой   O ,  то длина отрезка   SO  будет равняться высоте пирамиды. Часто и сам отрезок   SO   называют высотой пирамиды, опущенной из вершины   S .

      Определение 4. Высоту боковой грани правильной пирамиды, опущенную из вершины   S , называют апофемой.

Рис.3

      На рисунке 3 отрезок   SB   – апофема грани   SA_nA_n-1   и отрезок   SC   – апофема грани   SA₂A₁.

      Замечание 3 . У любой правильной n – угольной пирамиды можно провести   n   апофем.

     Свойства правильной пирамиды:

	Все боковые ребра правильной пирамиды равны.
	Все боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.
	У любой правильной пирамиды все апофемы равны.
	Все боковые ребра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные углы.
	Все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные двугранные углы.

Тетраэдры. Правильные тетраэдры

      Определение 5. Произвольную треугольную пирамиду называют тетраэдром.

     Утверждение. У любой правильной треугольной пирамиды противоположные ребра попарно перпендикулярны.

     Доказательство. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду   SABC и пару ее противоположных ребер, например,   AC   и   BS.   Обозначим буквой   D   середину ребра   AC.   Поскольку отрезки   BD   и   SD   являются медианами в равнобедренных треугольниках   ABC   и   ASC,   то   BD   и   SD   перпендикулярны ребру   AC   (рис. 4).

Рис.4

      По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая   AC   перпендикулярна плоскости   BSD.   Следовательно, прямая   AC   перпендикулярна прямой   BS,   что и требовалось доказать.

      Определение 6. Правильную треугольную пирамиду, у которой все ребра равны, называют правильным тетраэдром (рис. 5).

Рис.5

     Задача. Найти высоту правильного тетраэдра с ребром   a .

      Решение. Рассмотрим правильный тетраэдр   SABC.   Пусть точка   O   – основание перпендикуляра, опущенного из вершины   S   на плоскость   ABC.   Поскольку   SABC   – правильная пирамида, то точка   O   является точкой пересечения медиан равностороннего треугольника   ABC.   Следовательно,

где буквой   D   обозначена середина ребра   AC   (рис. 6).

Рис.6

      Так как

,

то

.

      По теореме Пифагора из треугольника   BSO  находим

.

      Ответ.

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды

     Введем следующие обозначения

      Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды:

Пирамида	Рисунок	Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности
Произвольная пирамида		, где h – высота пирамиды.
Правильная n – угольная пирамида		(см. раздел «правильные многоугольники»), где h – высота правильной пирамиды, a – длина ребра основания правильной пирамиды, l – длина апофемы правильной пирамиды.
Правильный тетраэдр		(см. раздел «правильные многоугольники»), высота правильного тетраэдра равна где a – длина ребра правильного тетраэдра

Произвольная пирамида

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: , где  h – высота пирамиды.

Правильная n – угольная пирамида

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: (см. раздел «правильные многоугольники»), где h – высота правильной пирамиды, a – длина ребра основания правильной пирамиды, l – длина апофемы правильной пирамиды.

Правильный тетраэдр

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности: (см. раздел «правильные многоугольники»), высота правильного тетраэдра равна где a – длина ребра правильного тетраэдра

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

индивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»