Пирамиды. Правильные пирамиды. Теорема Эйлера. Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды
Пирамиды
Рассмотрим произвольную плоскость α , произвольный выпуклый n – угольник A1A2 ... An , расположенный в этой плоскости, и точку S , не лежащую в плоскости α .
Определение 1. Пирамидой (n - угольной пирамидой) называют фигуру, образованную отрезками, соединяющими точку S со всеми точками многоугольника A1A2 ... An (рис. 1) .
Замечание 1. Напомним, что многоугольник A1A2 ... An состоит из замкнутой ломаной линии A1A2 ... An и ограниченной ею части плоскости.
Рис.1
 | Точку S называют вершиной пирамиды. |
| Многоугольник A1A2 ... An называют основанием пирамиды. |
| Точки A1, A2, ... , An называют вершинами основания пирамиды. |
| Точки A1 , A2 , ... , An , S часто называют просто вершинами пирамиды. | | Расстояние от точки S до плоскости Расстояние от точки S до плоскости α называют высотой пирамиды. |
| Отрезки SA1 , SA2 , ... , SAn называют боковыми ребрами пирамиды. |
| Стороны многоугольника A1A2 ... An называют ребрами основания пирамиды. |
| Боковые ребра и ребра основания пирамиды часто называют просто ребрами пирамиды. |
| Треугольники SA1A2 , SA2A3 , ... , SAnA1 называют боковыми гранями пирамиды. |
| Множество всех боковых граней пирамиды составляет боковую поверхность пирамиды. |
| Боковые грани и основание пирамиды часто называют просто гранями пирамиды. |
| Полная поверхность пирамиды состоит из основания пирамиды и ее боковой поверхности. |
Теорема Эйлера. Для любой пирамиды справедливо равенство:
| + |
| – |
| = | 2 |
| + |
| – |
| = | 2 |
| + |
| – |
| – |
| = | 2 |
Доказательство. Заметим, что у n - угольной пирамиды (n + 1) вершина, n боковых граней, 1 основание, n ребер основания и n боковых ребер. Следовательно, у n - угольной пирамиды (n + 1) грань и 2n ребер.
Поскольку
(n + 1) + (n + 1) – 2n = 2
то теорема Эйлера доказана.
Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды
Определение 3. Правильной n - угольной пирамидой (правильной пирамидой) называют такую n - угольную пирамиду, у которой основанием является правильный n - угольник A1A2 ... An , а основанием перпендикуляра, опущенного из точки S на плоскость α , является центр правильного n - угольника A1A2 ... An (рис 2).
Рис.2
Замечание 2. Если центр основания A1A2 ... An правильной пирамиды SA1A2 ... An обозначить буквой O , то длина отрезка SO будет равняться высоте пирамиды. Часто и сам отрезок SO называют высотой пирамиды, опущенной из вершины S .
Определение 4. Высоту боковой грани правильной пирамиды, опущенную из вершины S , называют апофемой.
Рис.3
На рисунке 3 отрезок SB – апофема грани SAnAn-1 и отрезок SC – апофема грани SA2A1.
Замечание 3 . У любой правильной n – угольной пирамиды можно провести n апофем.
Свойства правильной пирамиды:
| Все боковые ребра правильной пирамиды равны. |
| Все боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками. |
| У любой правильной пирамиды все апофемы равны. |
| Все боковые ребра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные углы. | | Все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные двугранные углы. |
Тетраэдры. Правильные тетраэдры
Определение 5. Произвольную треугольную пирамиду называют тетраэдром.
Утверждение. У любой правильной треугольной пирамиды противоположные ребра попарно перпендикулярны.
Доказательство. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду SABC и пару ее противоположных ребер, например, AC и BS. Обозначим буквой D середину ребра AC. Поскольку отрезки BD и SD являются медианами в равнобедренных треугольниках ABC и ASC, то BD и SD перпендикулярны ребру AC (рис. 4).
Рис.4
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая AC перпендикулярна плоскости BSD. Следовательно, прямая AC перпендикулярна прямой BS, что и требовалось доказать.
Определение 6. Правильную треугольную пирамиду, у которой все ребра равны, называют правильным тетраэдром (рис. 5).
Рис.5
Задача. Найти высоту правильного тетраэдра с ребром a .
Решение. Рассмотрим правильный тетраэдр SABC. Пусть точка O – основание перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость ABC. Поскольку SABC – правильная пирамида, то точка O является точкой пересечения медиан равностороннего треугольника ABC. Следовательно,
где буквой D обозначена середина ребра AC (рис. 6).
Рис.6
Так как
,
то
.
По теореме Пифагора из треугольника BSO находим
.
Ответ.
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды
Введем следующие обозначения
| V | объем пирамиды |
| Sбок | площадь боковой поверхности пирамиды |
| Sполн | площадь полной поверхности пирамиды |
| Sосн | площадь основания пирамиды |
| Pосн | периметр основания пирамиды |
Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды:
| Пирамида | Рисунок | Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности |
| Произвольная пирамида |  |
где |
| Правильная n – угольная пирамида |  |
(см. раздел «правильные многоугольники»),
где |
| Правильный тетраэдр |  |
(см. раздел «правильные многоугольники»), высота правильного тетраэдра равна
где |
,
| Произвольная пирамида |
 Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:
где h – высота пирамиды. |
| Правильная n – угольная пирамида |
 Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:
(см. раздел «правильные многоугольники»),
где |
| Правильный тетраэдр |
Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:
(см. раздел «правильные многоугольники»), высота правильного тетраэдра равна
где |
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.
| До ЕГЭ по математике осталось | |||
| дней | часов | минут | секунд |
