Усеченные пирамиды. Теорема Эйлера. Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности усеченной пирамиды

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема ЭйлераУсеченные пирамиды. Теорема Эйлера для усеченных пирамид
правильная усеченная пирамида апофемаПравильные усеченные пирамиды
площадь боковой поверхности усеченной пирамиды площадь полной поверхности для усеченной пирамиды объем усеченной пирамидыФормулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности усеченной пирамиды
усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды правильная усеченная пирамида апофема основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды площадь боковой поверхности усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды площадь полной поверхности для усеченной пирамиды теорема Эйлера объем усеченной пирамиды

Усеченные пирамиды

      Плоскость, параллельная параллельная основанию пирамиды   SA1A2 ... An   и пересекающая все боковые ребра пирамиды в точках   A'1 , A'2 , ... , A'n ,   делит пирамиду   SA1A2 ... An   на две части: пирамиду   SA'1A'2 ... A'n   и усеченную пирамиду   A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n   (рис. 1).

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды
усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды
усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды

Рис.1

      Определение 1 .

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Многоугольник   A1A2 ... An   называют нижним основанием усеченной пирамиды (рис. 2).

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Многоугольник   A'1A'2 ... A'n   называют верхним основанием усеченной пирамиды (рис. 2).

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Расстояние между плоскостямиРасстояние между плоскостями оснований усеченной пирамиды называют высотой усеченной пирамиды.

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Точки   A1 , A2 , ... , An , A'1 , A'2 , ... , A'n   называют вершинами оснований усеченной пирамиды.

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Отрезки   A1A'1 , A2A'2 , ... , AnA'n   называют боковыми ребрами усеченной пирамиды.

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Стороны многоугольников   A1A2 ... An ,   A'1A'2 ... A'n   называют ребрами оснований усеченной пирамиды.

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Трапеции   A1A'1A'2A2 ,   A2A'2A'3A3 ,   ... ,   AnA'nA'1A1   называют боковыми гранями усеченной пирамиды.

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Множество всех боковых граней усеченной пирамиды составляет боковую поверхность усеченной пирамиды.

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Полная поверхность усеченной пирамиды состоит из оснований усеченной пирамиды и ее боковой поверхности.

усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера
усеченная пирамида вершины усеченной пирамиды боковые ребра усеченной пирамиды ребра оснований усеченной пирамиды боковые грани усеченной пирамиды основания усеченной пирамиды высота усеченной пирамиды боковая поверхность усеченной пирамиды полная поверхность пирамиды теорема Эйлера

Рис.2

      Теорема Эйлера. Для любой усеченной пирамиды справедливо равенство:

число вершин
+
число граней
число ребер
=2
число
вершин
+
число
граней
число
ребер
=2
число
вершин
+
число
граней
число
ребер
=2

      Доказательство. Заметим, что у n - угольной усеченной пирамиды   2n   вершин,   n   боковых граней,   2   основания,   2n   ребер оснований и   n   боковых ребер. Следовательно, у n - угольной усеченной пирамиды   (n + 2)   грани и   3n   ребер.

      Поскольку

2n + (n + 2) – 3n = 2

то теорема Эйлера доказана.

Правильные усеченные пирамиды

      Плоскость, параллельная параллельная основанию правильной пирамиды   SA1A2 ... An   и пересекающая все боковые ребра пирамиды в точках   A'1 , A'2 , ... , A'n , делит пирамиду   SA1A2 ... An   на две части: правильную пирамиду   SA'1A'2 ... A'n   и правильную усеченную пирамиду   A1A2 ... AnA'1A'2 ... A'n   (рис. 3).

правильная усеченнвя пирамида апофема
правильная усеченнвя пирамида апофема
правильная усеченнвя пирамида апофема

Рис.3

      Определение 2. Высоту боковой грани правильной усеченной пирамиды называют апофемой правильной усеченной пирамиды (рис 4).

правильная усеченнвя пирамида апофема
правильная усеченнвя пирамида апофема

Рис.4

      На рис. 4 отрезок   B'B   – апофема грани   A1A'1A'nAn   и отрезок   C'C   – апофема грани   AnA'nA'n - 1An - 1

      Свойства правильной усеченной пирамиды:

правильная усеченнвя пирамида апофема

Все боковые ребра правильной усеченной пирамиды равны.

правильная усеченнвя пирамида апофема

Все боковые грани правильной усеченной пирамиды являются равными равнобедренными трапециями.

правильная усеченнвя пирамида апофема

У любой правильной усеченной пирамиды все апофемы равны.

правильная усеченнвя пирамида апофема

Все боковые ребра правильной усеченной пирамиды образуют с плоскостью нижнего основания усеченной пирамиды равные углы.

правильная усеченнвя пирамида апофема

Все боковые ребра правильной усеченной пирамиды образуют с плоскостью верхнего основания усеченной пирамиды равные углы.

правильная усеченнвя пирамида апофема

Все боковые грани правильной усеченной пирамиды образуют с плоскостью нижнего основания усеченной пирамиды равные двугранные углы.

правильная усеченнвя пирамида апофема

Все боковые грани правильной усеченной пирамиды образуют с плоскостью верхнего основания усеченной пирамиды равные двугранные углы.

правильная усеченнвя пирамида апофема

Отрезок, соединяющий центры верхнего и нижнего оснований правильной усеченной пирамиды, перпендикулярен плоскостям оснований правильной усеченной пирамиды. Длина этого отрезка равна высоте правильной усеченной пирамиды.

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности усеченной пирамиды

     Введем следующие обозначения

      Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности усеченной пирамиды:

Произвольная усеченная пирамида

объем усеченной пирамиды

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

объем усеченной пирамиды,

объем усеченной пирамиды
объем усеченной пирамиды

где
hвысота усеченной пирамиды.

Правильная n – угольная усеченная пирамида
объем правильной усеченной пирамиды площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды
объем правильной усеченной пирамиды площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

формула площади правильного n-угольника
формула площади правильного n-угольника

(см. раздел «правильные многоугольники»),

объем усеченной пирамиды,

объем усеченной пирамиды
объем усеченной пирамиды

* * *

объем усеченной пирамиды

объем усеченной пирамиды

* * *

площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

* * *

площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды

площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды

площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды

где
h  – высота правильной усеченной пирамиды,
a – длина ребра нижнего основания правильной пирамиды,
a' – длина ребра верхнего основания правильной пирамиды,
l – длина апофемы правильной усеченной пирамиды.

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
днейчасовминутсекунд

НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Справочник
по математике
для школьников
Наши учебные пособия
ОФИЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Демонстрационные варианты ЕГЭ




Готовитесь
к ЕГЭ?

(495) 509-28-10
Учебные материалы для подготовки к ЕГЭУчебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»
НАШИ ПАРТНЕРЫ

Rambler's Top100    Рейтинг@Mail.ru 

Метрика Яндекса
Яндекс.Метрика